Поле уклона

Наклон поле д / дй = х ² -x-2, с синей, красной и бирюзовой линией быть (х ³ /3) - (х ² /2) -2x + 4, (х ³ /3) - (х ² /2) -2x, и (х ³ /3) - (х ² /2) -2x-4, соответственно.

Поле уклона также называется полем направления . ^[1] Решения дифференциального уравнения первого порядка ^[2] скалярной функции y (x) могут быть нарисованы в 2-мерном пространстве с x по горизонтали и y по вертикали. Возможные решения - это функции y (x), нарисованные сплошными линиями. Иногда аналитическое решение дифференциального уравнения оказывается слишком громоздким . Тогда можно по-прежнему рисовать касательные кривых функций, например, на регулярной сетке. Касательные касаются функций в точках сетки. Однако поле направлений не зависит от хаотических аспектов дифференциального уравнения.

Определение [ править ]

Стандартный случай [ править ]

Поле уклона может быть определено для следующего типа дифференциальных уравнений

{\ Displaystyle у '= е (х, у)}

,

которую можно интерпретировать геометрический давая наклон от касательной к графику решения дифференциального уравнения ( в интегральном кривом ) в каждой точке ( х , у ) как функция координат точек. ^[3]

Его можно рассматривать как творческий способ изобразить действительную функцию двух реальных переменных в виде плоского изображения. В частности, для данной пары вектор с компонентами рисуется в точке на плоскости. Иногда вектор нормализуется, чтобы сделать график более привлекательным для человеческого глаза. Для рисования обычно используется набор пар, образующих прямоугольную сетку. ${\ displaystyle f (x, y)}$ ${\ displaystyle x, y}$ ${\ Displaystyle [1, е (х, y)]}$ ${\ displaystyle x, y}$ ${\ displaystyle x, y}$ ${\ Displaystyle [1, е (х, y)]}$ ${\ displaystyle x, y}$

Изоклина (серия линий с одинаковым наклоном) часто используется для дополнения поля наклона. В уравнении формы изоклина - это линия на плоскости, полученная путем приравнивания к константе. ${\ Displaystyle у '= е (х, у)}$ ${\ displaystyle x, y}$ ${\ displaystyle f (x, y)}$

Общий случай системы дифференциальных уравнений [ править ]

Учитывая систему дифференциальных уравнений,

{\ displaystyle {\ frac {dx_ {1}} {dt}} = f_ {1} (t, x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}

{\ displaystyle {\ frac {dx_ {2}} {dt}} = f_ {2} (t, x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}

{\ displaystyle \ vdots}

{\ displaystyle {\ frac {dx_ {n}} {dt}} = f_ {n} (t, x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}

поле наклона представляет собой массив отметок наклона в фазовом пространстве (в любом количестве измерений в зависимости от числа соответствующих переменных; например, два в случае линейного ОДУ первого порядка , как показано справа). Каждая отметка уклона центрируется в точке и параллельна вектору. $(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

{\begin{pmatrix}1\\f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{pmatrix}}

.

Количество, положение и длина отметок откоса могут быть произвольными. Позиции обычно выбираются так, чтобы точки составляли единую сетку. Стандартный случай, описанный выше, представляет . Общий случай поля наклонов для систем дифференциальных уравнений не так просто визуализировать . $(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $n=1$ $n>2$

Общее приложение [ править ]

С помощью компьютеров сложные поля наклона могут быть быстро созданы без утомления, поэтому лишь недавно они стали применяться на практике просто для того, чтобы почувствовать, каким должно быть решение, прежде чем искать явное общее решение. Конечно, компьютеры также могут решить эту проблему, если она существует.

Если нет явного общего решения, компьютеры могут использовать поля наклона (даже если они не показаны) для численного поиска графических решений. Примерами таких процедур является метод Эйлера или, лучше сказать, методы Рунге – Кутты .

Программное обеспечение для построения полей уклонов [ править ]

Различные программные пакеты могут строить поля уклона.

Код поля направления в GNU Octave / MATLAB [ править ]

funn = @ ( x , y ) y - x ; % функция f (x, y) = yx   [ x , y ] = сетка ( - 5 : 0,5 : 5 ); % интервалы для x и y наклоны = funn ( x , y ); % матрица значений наклона dy = уклоны ./ sqrt ( 1 + slopes . ^ 2 ); % нормализовать элемент строки ... dx = единицы ( длина ( dy )) ./ sqrt ( 1 + slopes . ^ 2 ); % ... величины для dy и dx h = колчан ( x , y , dx , dy , 0,5 ); % построить поле направления set ( h , "maxheadsize" , 0,1 ); % изменить размер головы

Пример кода для Maxima [ править ]

/ * поле для y '= xy (щелкните точку, чтобы получить интегральную кривую) * /plotdf (x * y, [x, -2,2], [y, -2,2]);

Пример кода для Mathematica [ править ]

(* поле для y '= xy *)VectorPlot [{ 1 , x * y }, { x , -2 , 2 }, { y , -2 , 2 }]

Пример кода для SageMath ^[4] [ править ]

var ('х, у')plot_slope_field (x * y, (x, -2,2), (y, -2,2))

Примеры [ править ]

у '= х / у
Поле уклона
Интегральные кривые
Изоклины (синий), поле уклона (черный) и некоторые кривые решения (красный)

См. Также [ править ]

Примеры дифференциальных уравнений
Векторное поле
Преобразование Лапласа применяется к дифференциальным уравнениям
Список тем о динамических системах и дифференциальных уравнениях
Качественная теория дифференциальных уравнений

Ссылки [ править ]

^ Бойс, Уильям (2001). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (7-е изд.). Вайли. п. 3. ISBN 9780471319993.
^ Владимир А. Добрушкин (2014). Прикладные дифференциальные уравнения: начальный курс . CRC Press. п. 13. ISBN 978-1-4987-2835-5.
^ Андрей Д. Полянин; Александр Васильевич Манжиров (2006). Справочник по математике для инженеров и ученых . CRC Press. п. 453. ISBN. 978-1-58488-502-3.
^ https://doc.sagemath.org/html/en/reference/plotting/sage/plot/plot_field.html

Бланшар, Поль; Девани, Роберт Л .; и Холл, Глен Р. (2002). Дифференциальные уравнения (2-е изд.). Брукс / Коул: обучение Томпсона. ISBN 0-534-38514-1

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Склонное поле» . MathWorld .
Плоттер уклонного поля (Java)
Плоттер поля уклона (JavaScript)

[1] Бойс, Уильям (2001). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (7-е изд.). Вайли. п. 3. ISBN 9780471319993.

[2] Владимир А. Добрушкин (2014). Прикладные дифференциальные уравнения: начальный курс . CRC Press. п. 13. ISBN 978-1-4987-2835-5.

[3] Андрей Д. Полянин; Александр Васильевич Манжиров (2006). Справочник по математике для инженеров и ученых . CRC Press. п. 453. ISBN. 978-1-58488-502-3.

[4] ttps://doc.sagemath.org/html/en/reference/plotting/sage/plot/plot_field.html

[1]