Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , то спектр матрицы является множество его собственных значений . [1] [2] [3] В более общем смысле, если он является линейным оператором над любым конечномерным векторным пространством, его спектр - это набор скаляров , не обратимых. Определитель матрицы равен произведению ее собственных. Точно так же след матрицы равен сумме ее собственных значений. [4] [5] [6] С этой точки зрения мы можем определить псевдодетерминант для сингулярной матрицыбыть произведением его ненулевых собственных значений (плотность многомерного нормального распределения потребуется эта величина).

Во многих приложениях, таких как PageRank , интересует доминирующее собственное значение, то есть то, которое является наибольшим по модулю. В других приложениях важно наименьшее собственное значение, но в целом весь спектр предоставляет ценную информацию о матрице.

Определение [ править ]

Пусть V - конечномерное векторное пространство над некоторым полем K, и пусть T : V → V - линейное отображение. Спектр из T , обозначается σ T , является мультимножеством корней характеристического полинома из T . Таким образом, элементы спектра в точности собственных значений Т , а кратность собственного значения λ в спектре равна размерности обобщенного собственное подпространства в Т для Й (также называютсяалгебраическая кратность из Й ).

Теперь, зафиксировать базис B из V над К и пусть М ∈Mat K ( V ) представляет собой матрицу. Определите линейное отображение T : V → V точечно как Tx = Mx , где в правой части x интерпретируется как вектор-столбец, а M действует на x путем умножения матриц. Теперь мы говорим , что х ∈ V является собственным вектором из М , если х является собственным вектором Т . Аналогично λ∈ Kявляется собственным значением M, если оно является собственным значением T и с той же кратностью, а спектр M , записанный σ M , является мультимножеством всех таких собственных значений.

Связанные понятия [ править ]

Собственное разложение (или спектральное разложение) диагонализуемой матрицы - это разложение диагонализуемой матрицы в конкретную каноническую форму, посредством чего матрица представляется в терминах ее собственных значений и собственных векторов.

Спектральный радиус квадратной матрицы является самым большим абсолютным значением его собственных значений. В спектральной теории спектральный радиус ограниченного линейного оператора - это верхняя грань абсолютных значений элементов в спектре этого оператора.

Примечания [ править ]

  1. ↑ Голуб и Ван Лоан (1996 , с. 310)
  2. ^ Kreyszig (1972 , стр. 273)
  3. ^ Nering (1970 , стр. 270)
  4. ↑ Голуб и Ван Лоан (1996 , с. 310)
  5. ^ Херстейн (1964 , стр. 271-272)
  6. ^ Nering (1970 , стр. 115-116)

Ссылки [ править ]

  • Golub, Gene H .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
  • Херштейн, И. Н. (1964), « Темы алгебры» , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
  • Крейсциг, Эрвин (1972), Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
  • Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646