Петербургский парадокс

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Санкт-Петербургский парадокс»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверив сделанные утверждения и добавив встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Декабрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Парадокс Санкт-Петербурга обычно формулируется в виде азартных игр на исход подбрасывания монеты.

Санкт - Петербург парадокс или Санкт - Петербург лотереи ^[1] представляет собой парадокс связан с вероятностью и теории принятия решений в экономике . Он основан на теоретической лотерее, которая приводит к случайной величине с бесконечным ожидаемым значением.(т. е. бесконечный ожидаемый выигрыш), но, тем не менее, кажется участникам очень незначительным. Парадокс Санкт-Петербурга - это ситуация, когда критерий наивного решения, учитывающий только ожидаемое значение, предсказывает курс действий, на который, по-видимому, не захочет пойти ни один реальный человек. Было предложено несколько разрешений парадокса.

Парадокс получил свое название от резолюции Даниэля Бернулли , бывшего жителя одноименного российского города , который опубликовал свои аргументы в « Комментариях» Императорской академии наук в Санкт-Петербурге ( Бернулли 1738 ). Однако проблема была изобретена двоюродным братом Даниила, Николя Бернулли , ^[2] , который первым заявил в письме Пьер Раймон де Монмор 9 сентября 1713 ( де Монмор 1713 ). ^[3]

Петербургская игра [ править ]

Казино предлагает азартную игру для одного игрока, в которой на каждом этапе подбрасывается честная монета . Первоначальная ставка начинается с 2 долларов и удваивается каждый раз, когда выпадает орел. Когда выпадают решки в первый раз, игра заканчивается, и игрок выигрывает все, что находится в банке. Таким образом, игрок выигрывает 2 доллара, если решка выпадает при первой подбрасывании, 4 доллара, если орел выпадает при первой подбрасывании, и решка при втором, 8 долларов, если орел выпадает при первых двух подбрасываниях, и решка при третьей, и так далее. Математически игрок выигрывает доллары, где - количество последовательных бросков головой. Какова будет справедливая цена, которую казино должно заплатить за вход в игру?${\ displaystyle 2 ^ {k}}$${\ displaystyle k}$

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подумать, какой будет средняя выплата на каждом этапе: с вероятностью 1/2, игрок выигрывает 2 доллара; с вероятностью1/4игрок выигрывает 4 доллара; с вероятностью1/8игрок выигрывает 8 долларов и так далее. Предполагая, что игра может продолжаться до тех пор, пока в результате подбрасывания монеты выпадет орел, и, в частности, что у казино неограниченные ресурсы, ожидаемое значение будет

${\ displaystyle {\ begin {align} E & = {\ frac {1} {2}} \ cdot 2 + {\ frac {1} {4}} \ cdot 4 + {\ frac {1} {8}} \ cdot 8 + {\ frac {1} {16}} \ cdot 16+ \ cdots \\ & = 1 + 1 + 1 + 1 + \ cdots \\ & = \ infty \,. \ end {выровнено}}}$

Эта сумма неограниченно растет , поэтому ожидаемый выигрыш при повторной игре - бесконечная сумма денег. ^[4]

Парадокс [ править ]

Принимая во внимание только ожидаемую величину чистого изменения денежного богатства, следует играть в игру любой ценой, если предоставляется возможность. Тем не менее, Даниэль Бернулли, после описания игры с начальной ставкой в ​​один дукат , заявил: «Хотя стандартный расчет показывает, что значение ожиданий [игрока] бесконечно велико, необходимо ... признать, что любой достаточно разумный человек с большим удовольствием продаст свой шанс за двадцать дукатов ". ^[5] Роберт Мартин цитирует Яна Хакинга, который сказал, что «немногие из нас заплатят даже 25 долларов за участие в такой игре», и говорит, что большинство комментаторов с этим согласятся. ^[6]Парадокс заключается в несоответствии между тем, что люди, кажется, готовы платить, чтобы войти в игру, и бесконечным ожидаемым значением. ^[5]

Решения [ править ]

Было предложено несколько подходов к разрешению парадокса.

Теория ожидаемой полезности [ править ]

Классическое разрешение парадокса включал явное введение функции полезности , в ожидаемой полезности гипотезы , и презумпция убывающей предельной полезности денег.

По словам Даниэля Бернулли:

Определение стоимости предмета должно основываться не на цене, а на полезности, которую он приносит ... Нет сомнений в том, что выигрыш в тысячу дукатов более значим для бедняка, чем для богатого человека, хотя и то, и другое. получить такую ​​же сумму.

Распространенной моделью полезности, предложенной самим Бернулли, является логарифмическая функция U ( w ) = ln ( w ) (известная как логарифм полезности ). Это функция общего богатства игрока w , и в нее встроена концепция убывающей предельной полезности денег. Гипотеза ожидаемой полезности утверждает, что существует функция полезности, знак которой ожидаемое чистое изменение от принятия игры является хорошим критерием для поведения реальных людей. Для каждого возможного события изменение полезности ln (богатство после события) - ln (богатство до события) будет взвешено по вероятности того, что это событие произойдет. Пусть cбыть платой за вход в игру. Ожидаемая дополнительная полезность лотереи теперь сходится к конечному значению:

${\ Displaystyle \ Delta E (U) = \ sum _ {k = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {2 ^ {k}}} \ left [\ ln \ left (w + 2 ^ {k} -c \ right) - \ ln (w) \ right] <+ \ infty \ ,.}$

Эта формула дает неявную связь между богатством игрока и тем, сколько он должен быть готов заплатить (в частности, любое значение c, которое дает положительное изменение ожидаемой полезности). Например, с полезностью натурального логарифма миллионер (1000000 долларов) должен быть готов заплатить до 20,88 долларов, человек с 1000 долларов должен заплатить до 10,95 долларов, человек с 2 долларами должен занять 1,35 доллара и заплатить до 3,35 доллара.

Перед Даниил Бернулли опубликовал в 1728 году, математик из Женевы , Габриэль Крамер , уже нашли части этой идеи (также мотивированные Санкт - Петербургского парадокса) в том , что

математики оценивают деньги пропорционально их количеству, а здравомыслящие люди - пропорционально тому, как они могут их использовать.

Он продемонстрировал в письме Николя Бернулли ^[7], что функция квадратного корня, описывающая убывающую предельную выгоду от выигрыша, может решить проблему. Однако, в отличие от Даниэля Бернулли, он рассматривал не общее богатство человека, а только выигрыш от лотереи.

Однако это решение Крамера и Бернулли не полностью удовлетворяет, поскольку лотерею можно легко изменить таким образом, чтобы парадокс повторился. Для этого нам просто нужно изменить игру так, чтобы она приносила еще более быстро растущие выплаты. Для любой неограниченной функции полезности можно найти лотерею, допускающую вариант петербургского парадокса, на что впервые указал Менгер ( Menger 1934 ).

Недавно теория ожидаемой полезности была расширена, чтобы прийти к более поведенческим моделям принятия решений . В некоторых из этих новых теорий, например в теории кумулятивных перспектив , в некоторых случаях снова появляется парадокс Санкт-Петербурга, даже когда функция полезности вогнута, но не в том случае, если она ограничена ( Rieger & Wang 2006 ).

Взвешивание вероятности [ править ]

Сам Николас Бернулли предложил альтернативную идею решения парадокса. Он предположил, что люди будут пренебрегать маловероятными событиями ( de Montmort 1713 ). Поскольку в лотерее Санкт-Петербурга только маловероятные события приносят высокие призы, которые приводят к бесконечному ожидаемому значению, это может разрешить парадокс. Идея вероятности взвешивания всплыли значительно позже в работах по теории перспективы по Даниэль Канеман и Амос Тверски .

Кумулятивная теория перспектив - одно из популярных обобщений теории ожидаемой полезности, которая может предсказывать многие поведенческие закономерности ( Tversky & Kahneman 1992 ). Однако чрезмерный вес событий с малой вероятностью, введенный в теории кумулятивных перспектив, может восстановить парадокс Санкт-Петербурга. Кумулятивная теория перспектив избегает парадокса Санкт-Петербурга только тогда, когда степенной коэффициент функции полезности ниже, чем степенной коэффициент вероятностной весовой функции ( Блаватский, 2005).). Интуитивно функция полезности должна быть не просто вогнутой, но и вогнутой относительно функции взвешивания вероятностей, чтобы избежать парадокса Санкт-Петербурга. Можно утверждать, что формулы для теории перспектив получаются в районе менее 400 долларов ( Tversky & Kahneman 1992 ). Это не применимо к бесконечно возрастающим суммам в парадоксе Санкт-Петербурга.

Конечные петербургские лотереи [ править ]

Классическая петербургская игра предполагает, что у казино или у банкира есть бесконечные ресурсы. Это предположение долгое время считалось нереалистичным. ^{[8] [9]} Алексис Фонтен де Бертен указал в 1754 году, что ресурсы любого потенциального спонсора игры конечны. ^{[10] [11]} Что еще более важно, ожидаемая ценность игры только логарифмически растет с ресурсами казино. В результате ожидаемая ценность игры, даже если играть против казино с самым большим реально мыслимым банкроллом, довольно скромна. В 1777 году Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон подсчитал, что после 29 раундов игры в Королевстве Франции не будет достаточно денег, чтобы покрыть ставку.^[12]

Если у казино ограниченные ресурсы, игра должна закончиться, как только эти ресурсы будут исчерпаны. ^[9] Предположим, что общие ресурсы (или максимальный джекпот) казино составляют W долларов (в более общем смысле, W измеряется в единицах, составляющих половину начальной ставки игры). Тогда максимальное количество раз, которое казино может сыграть, прежде чем оно больше не сможет полностью покрыть следующую ставку, равно L = пол (лог ₂ ( W )). ^[13] Предполагая, что игра заканчивается, когда казино больше не может покрывать ставку, ожидаемое значение лотереи E будет следующим: ^[14]

${\ displaystyle {\ begin {align} E & = \ sum _ {k = 1} ^ {L} {\ frac {1} {2 ^ {k}}} \ cdot 2 ^ {k} = L \,. \ конец {выровнен}}}$

В следующей таблице показано ожидаемое значение E игры с различными потенциальными банкирами и их банкроллом W :

Примечание. Согласно правилам игры, в которых указано, что если игрок выиграет больше, чем банкролл казино, ему будет выплачено все, что есть у казино, дополнительное ожидаемое значение меньше, чем было бы, если бы у казино было достаточно средств для покрытия еще одного раунда, т. Е. Меньше. чем 1 доллар.

Предпосылка бесконечных ресурсов порождает множество очевидных парадоксов в экономике. В системе ставок мартингейл игрок, делающий ставку на брошенную монету, удваивает свою ставку после каждого проигрыша, чтобы возможный выигрыш покрыл все проигрыши; эта система не работает с любым конечным банкроллом. Концепция разорения игрока показывает, что упорный игрок разорится, даже если игра дает положительное математическое ожидание , и никакая система ставок не может избежать этой неизбежности.

Отказ от математического ожидания [ править ]

Различные авторы, в том числе Жан ле Ронд д'Аламбер и Джон Мейнард Кейнс , отвергли максимизацию ожидания (даже полезности) как правильного правила поведения. Кейнс, в частности, настаивал на том, что относительный риск ^{[ необходимое уточнение ]} альтернативы может быть достаточно высоким, чтобы отвергнуть ее, даже если ее ожидания огромны. ^{[ необходима цитата ]} Недавно некоторые исследователи предложили заменить ожидаемое значение на медианное значение в качестве справедливой стоимости. ^{[18] [19]}

Недавние обсуждения [ править ]

Хотя этому парадоксу уже три столетия, новые аргументы все еще вводятся.

Феллер [ править ]

Решение, предполагающее отбор проб, было предложено Уильямом Феллером . ^[20] Интуитивно Феллер отвечает: «выполнить эту игру с большим количеством людей и вычислить ожидаемое значение на основе выборки». В этом методе, когда возможны игры бесконечное количество раз, ожидаемое значение будет бесконечным, а в случае конечного значения ожидаемое значение будет намного меньшим.

Самуэльсон [ править ]

Самуэльсон разрешает парадокс, утверждая, что, даже если бы у сущности были бесконечные ресурсы, игра никогда не была бы предложена. Если лотерея представляет собой бесконечный ожидаемый выигрыш для игрока, то она также представляет собой бесконечный ожидаемый убыток для хозяина. Никто не мог заметить, что платит за игру, потому что она никогда не будет предложена. Как описывает этот аргумент Пол Самуэльсон :

Павел никогда не захочет дать столько, сколько Петр потребует за такой контракт; и, следовательно, указанная деятельность будет иметь место на равновесном уровне нулевой интенсивности.

-  Самуэльсон (1960)

Дальнейшие обсуждения [ править ]

Предельная полезность и философский взгляд [ править ]

В прошлом парадокс Санкт-Петербурга и теория предельной полезности были предметом серьезных споров. Обсуждение с точки зрения философа см. В Martin (2004) .

Эвристические параметры и риски [ править ]

Недавно некоторые авторы предложили использовать эвристические параметры ^[21] (например, оценка возможных выигрышей без пренебрежения рисками лотереи в Санкт-Петербурге) из-за сильно стохастического контекста этой игры ( Cappiello, 2016 ). Следовательно, ожидаемый результат следует оценивать в ограниченный период, когда мы, вероятно, можем сделать свой выбор, и, помимо неэргодических характеристик ( Peters 2011a ), с учетом некоторых несоответствующих последствий, которые мы могли бы приписать ожидаемому значению ( Feller 1968 ).

См. Также [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]

Цитаты

Процитированные работы

• Эрроу, Кеннет Дж. (Февраль 1974 г.). «Использование неограниченных функций полезности в максимизации ожидаемой полезности: отклик» (PDF) . Ежеквартальный экономический журнал . 88 (1): 136–138. DOI : 10.2307 / 1881800 . JSTOR  1881800 .

• Бернулли, Даниэль ; первоначально опубликовано в 1738 г .; переведена доктором Луизой Соммер (январь 1954 г.). «Изложение новой теории измерения риска» . Econometrica . 22 (1): 22–36. DOI : 10.2307 / 1909829 . JSTOR  1909829 . Проверено 30 мая 2006 года .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• Блаватский, Павел (апрель 2005 г.). "Назад к петербургскому парадоксу?" (PDF) . Наука управления . 51 (4): 677–678. DOI : 10.1287 / mnsc.1040.0352 .

• Бюффон, Голландия (1777 г.). "Essai d'Arithmétique Motale". Дополнения к l'Histoire Naturelle, T. IV : 46–14. Перепечатано в "Oeuvres Philosophiques de Buffon", Париж, 1906 г., цитируется в Dutka, 1988 г.

• Каппиелло, Антонио (2016). «Принятие решений и парадокс Санкт-Петербурга: акцент на эвристических параметрах, с учетом неэргодического контекста и рисков, связанных с азартными играми» . Rivista italiana di Economia demografia e statistica . 70 (4): 147–158. ISSN  0035-6832 . RePEc: ite: iteeco: 160406.

• де Монморт, Пьер Ремон (1713). Essay d'analyse sur les jeux de risk [ Очерки анализа азартных игр ] (перепечатано в 2006 г.) (на французском языке) (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3781-8.как переведено и размещено в Pulskamp, ​​Ричард Дж. "Переписка Николаса Бернулли относительно игры в Санкт-Петербурге" (PDF) . Проверено 22 июля 2010 года .

• Дутка, Жак (1988). «О петербургском парадоксе» . Архив истории точных наук . 39 (1): 13–39. DOI : 10.1007 / BF00329984 . JSTOR  41133842 . S2CID  121413446 . Проверено 23 марта 2021 года .

• Феллер, Уильям. Введение в теорию вероятностей и ее применение Того I .

• Фонтен, Алексикс (1764). "Решение проблемы с лесами хасара". Mémoires donnés à l'Académie Royale des Sciences : 429–431. цитируется в Дутке, 1988 г.

• Джеффри, Ричард С. (1983). Логика решения (2-е изд.). Чикаго: Издательство Чикагского университета.

• Лаплас, Пьер Симон (1814). Аналитическая теория вероятностей [ Аналитическая теория вероятностей ] (на французском языке) (второе изд.). Пэрис: Ve. Курсье .

• Мартин, Роберт (2004). «Петербургский парадокс» . В Эдварде Н. Залта (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (издание осень 2004 г.). Стэнфорд, Калифорния : Стэнфордский университет. ISSN  1095-5054 . Проверено 30 мая 2006 года .

• Менгер, Карл (август 1934 г.). "Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre Betrachtungen im Anschluß an das sogenannte Petersburger Spiel". Zeitschrift für Nationalökonomie . 5 (4): 459–485. DOI : 10.1007 / BF01311578 . ISSN  0931-8658 . S2CID  151290589 . (Бумага) (Интернет).

• Петерс, Оле (октябрь 2011b). «Возвращение к Менгеру 1934 года». arXiv : 1110.1578 [ q-fin.RM ].

• Петерс, Оле (2011a). «Временное разрешение петербургского парадокса» . Философские труды Королевского общества . 369 (1956): 4913–4931. arXiv : 1011.4404 . Bibcode : 2011RSPTA.369.4913P . DOI : 10,1098 / rsta.2011.0065 . PMC  3270388 . PMID  22042904 .

• Петерс, Оле; Гелл-Манн, Мюррей (2016). «Оценка азартных игр с помощью динамики». Хаос . 26 (2): 023103. arXiv : 1405.0585 . Bibcode : 2016Chaos..26b3103P . DOI : 10.1063 / 1.4940236 . PMID  26931584 . S2CID  9726238 .

• Петерсон, Мартин (30 июля 2019 г.). «Петербургский парадокс (версия 2020 г.)» . В Эдварде Н. Залта (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (издание осень 2020 г.) . Проверено 24 марта 2021 года .

• Пьянка, Паоло (сентябрь 2007 г.). «Парадокс Санкт-Петербурга: историческая экспозиция, приложение к растущим акциям и некоторые подходы к моделированию» (PDF) . Quaderni di Didattica, факультет прикладной математики, Венецианский университет . 24 : 1–15.

• Ригер, Марк Оливер; Ван, Мэй (август 2006 г.). «Кумулятивная теория перспектив и парадокс Санкт-Петербурга» (PDF) . Экономическая теория . 28 (3): 665–679. DOI : 10.1007 / s00199-005-0641-6 . ЛВП : 20.500.11850 / 32060 . ISSN  0938-2259 . S2CID  790082 . (Бумага) (Интернет).( Общедоступная, более старая версия. )

• Самуэльсон, Пол (январь 1960). «Петербургский парадокс как расходящийся двойной предел». Международное экономическое обозрение . 1 (1): 31–37. DOI : 10.2307 / 2525406 . JSTOR  2525406 .
• Самуэльсон, Пол (март 1977). "Петербургские парадоксы: разоблаченные, вскрытые и исторически описанные". Журнал экономической литературы . 15 (1): 24–55. JSTOR  2722712 .

• Тодхантер, Исаак (1865). История математической теории вероятностей . Macmillan & Co .

• Тверски, Амос; Канеман (1992). «Достижения в теории перспектив: совокупное представление неопределенности». Журнал риска и неопределенности . 5 (4): 297–323. DOI : 10.1007 / bf00122574 . S2CID  8456150 .

Библиография [ править ]

• Ауман, Роберт Дж. (Апрель 1977 г.). «Санкт-Петербургский парадокс: обсуждение некоторых недавних комментариев». Журнал экономической теории . 14 (2): 443–445. DOI : 10.1016 / 0022-0531 (77) 90143-0 .
• Феллер, Уильям (1968). Введение в теорию вероятностей и ее приложения Том I, II . Вайли. ISBN 978-0471257080.
• Дюран, Дэвид (сентябрь 1957 г.). «Рост акций и парадокс Петербурга». Журнал финансов . 12 (3): 348–363. DOI : 10.2307 / 2976852 . JSTOR  2976852 .

• «Бернулли и петербургский парадокс» . История экономической мысли . Новая школа социальных исследований , Нью-Йорк. Архивировано из оригинала 18 июня 2006 года . Проверено 30 мая 2006 года .

• Хей, Джон (1999). Принимая шансы . Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. С.  330 . ISBN 978-0198526636.(Глава 4)
• Сен, ПК; Певица, JM (1993). Методы больших выборок в статистике. Введение в приложения . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0412042218.

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн-симулятор петербургской лотереи