В математике , теорема Стоун на однопараметрическую унитарных группах является основной теоремой функционального анализа , который устанавливает соответствие один к одному между операторами самосопряжённых на гильбертовом пространстве и однопараметрические семейства
из унитарных операторов , которые сильно непрерывны , т.е.
и являются гомоморфизмами, т. е.
Такие однопараметрические семейства обычно называют сильно непрерывными однопараметрическими унитарными группами .
Теорема была доказана Маршаллом Стоуном ( 1930 , 1932 ), а Нойман (1932) показал, что требование, чтобы быть сильно непрерывным, можно ослабить, чтобы сказать, что оно просто слабо измеримо, по крайней мере, когда гильбертово пространство сепарабельно.
Это впечатляющий результат, так как он позволяет определить производную отображения который только должен быть непрерывным. Это также относится к теории групп Ли и алгебр Ли .
Официальное заявление
Формулировка теоремы следующая. [1]
- Теорема. Позволять - сильно непрерывная однопараметрическая унитарная группа. Тогда существует единственный (возможно, неограниченный) оператор , который самосопряжен на и такой, что
- Область определяется
- Наоборот, пусть - (возможно, неограниченный) самосопряженный оператор на Тогда однопараметрическое семейство унитарных операторов, определяемых
- является сильно непрерывной однопараметрической группой.
В обеих частях теоремы выражение определяется с помощью спектральной теоремы для неограниченных самосопряженных операторов .
Оператор называется бесконечно малой генератор из Более того, будет ограниченным оператором тогда и только тогда, когда операторнозначное отображение является нормой- непрерывной.
Бесконечно малый генератор сильно непрерывной унитарной группы может быть вычислено как
с доменом состоящий из этих векторов для которого существует предел в топологии нормы. То есть, равно раз производная от относительно в . Часть утверждения теоремы состоит в том, что эта производная существует, т. Е. Что- плотно определенный самосопряженный оператор. Результат неочевиден даже в конечномерном случае, поскольку только предполагается (заранее) как непрерывный, а не дифференцируемый.
Пример
Семейство операторов перевода
- однопараметрическая унитарная группа унитарных операторов; инфинитезимальный генератор этого семейства является расширением дифференциального оператора
определены на пространстве непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций с компактным носителем на Таким образом
Другими словами, движение на прямой генерируется оператором импульса .
Приложения
Теорема Стоуна имеет множество приложений в квантовой механике . Так , например, при изолированной квантовой механической системе с гильбертовым пространством состояний Н , временная эволюцией является сильно непрерывным однопараметрической унитарной группой по. Бесконечно малый генератор этой группы - гамильтониан системы .
Использование преобразования Фурье
Теорема Стоуна может быть переработана с использованием языка преобразования Фурье . Настоящая линияявляется локально компактной абелевой группой. Невырожденные * -представления групповой C * -алгебры находятся во взаимно однозначном соответствии с сильно непрерывными унитарными представлениями т.е. сильно непрерывные однопараметрические унитарные группы. С другой стороны, преобразование Фурье является * -изоморфизмом из к в -алгебра непрерывных комплекснозначных функций на вещественной прямой, обращающихся в нуль на бесконечности. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между сильно непрерывными однопараметрическими унитарными группами и * -представлениями группы Как и любое * -представление однозначно соответствует самосопряженному оператору, теорема Стоуна верна.
Таким образом, процедура получения инфинитезимального генератора сильно непрерывной однопараметрической унитарной группы выглядит следующим образом:
- Позволять - сильно непрерывное унитарное представление в гильбертовом пространстве .
- Интегрируйте это унитарное представление, чтобы получить невырожденное * -представление из на сначала определив
- а затем расширяя ко всем по преемственности.
- Используйте преобразование Фурье, чтобы получить невырожденное * -представление из на .
- По Рисса-Маркова теоремы ,порождает проекционно-значную меру нато есть разрешение тождества единственного самосопряженного оператора , который может быть неограниченным.
- потом является бесконечно малым генератором
Точное определение составляет. Рассмотрим * -алгебру непрерывные комплекснозначные функции на с компактной опорой, где умножение дается сверткой . Пополнение этой * -алгебры относительно-норма является банаховой * -алгеброй, обозначаемой потом определяется как обволакивающийалгебра из, т. е. его завершение по максимально возможной -норма. Нетривиальный факт, что с помощью преобразования Фурье изоморфен Результатом в этом направлении является лемма Римана-Лебега , которая утверждает, что преобразование Фурье отображает к
Обобщения
Теорема Стоуна – фон Неймана обобщает теорему Стоуна на пару самосопряженных операторов:, Удовлетворяющий каноническое коммутационное соотношение , и показывает , что это все унитарно эквивалентно оператору позицию и оператор импульса на
Теорема Хилле – Иосиды обобщает теорему Стоуна на сильно непрерывные однопараметрические полугруппы сжатий на банаховых пространствах .
Рекомендации
Библиография
- Холл, Британская Колумбия (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
- Нейман Дж фон (1932), "Убер Einen Затц фон Неггп М. Стоун", Анналы математики , второй серии (на немецком языке ), Annals математики, 33 (3): 567-573, DOI : 10,2307 / 1968535 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1968535
- Стоун, М. Х. (1930), "Линейные преобразования в гильбертовом пространстве. III. Операционные методы и теория групп", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , Национальная академия наук, 16 (2): 172–175 , DOI : 10.1073 / pnas.16.2.172 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 85485 , PMC 1075964 , PMID 16587545
- Камень, MH (1932), "О однопараметрическими унитарных групп в гильбертовом пространстве", Annals математики , 33 (3): 643-648, DOI : 10,2307 / 1968538 , JSTOR 1968538
- К. Йосида, Функциональный анализ , Springer-Verlag, (1968)