Погружение (математика)

В математике , погружение является дифференцируемое отображение между дифференцируемые многообразия которых дифференциал всюду сюръективно . Это основная концепция дифференциальной топологии . Понятие погружения двойственно понятию погружения .

Определение [ править ]

Пусть M и N будут дифференцируемые многообразия и быть дифференцируемое отображение между ними. Отображение f является погружением в точку, если его дифференциал${\ displaystyle f \ двоеточие от M \ до N}$ ${\ displaystyle p \ in M}$

${\ displaystyle Df_ {p} \ двоеточие T_ {p} M \ to T_ {f (p)} N}$

является сюръективным линейным отображением . ^[1] В этом случае p называется регулярной точкой отображения f , иначе p является критической точкой . Точка является регулярным значением из F , если все точки р в прообразе являются регулярными точками. Дифференцируемое отображение f , являющееся субмерсией в каждой точке , называется субмерсией . Эквивалентно, f является субмерсией, если ее дифференциал имеет постоянный ранг, равный размерности N${\ displaystyle q \ in N}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (q)}$${\ displaystyle p \ in M}$${\ displaystyle Df_ {p}}$.

Слово предупреждения: некоторые авторы используют термин критическую точку для описания точки , где ранг из матрицы Якоби из е в р не является максимальным. ^[2] Действительно, это более полезное понятие в теории особенностей . Если размерность M больше или равна размерности N, то эти два понятия критической точки совпадают. Но если размерность M меньше размерности N , все точки являются критическими согласно приведенному выше определению (дифференциал не может быть сюръективным), но ранг якобиана может быть максимальным (если он равен dimМ ). Приведенное выше определение используется чаще; например, в формулировке теоремы Сарда .

Теорема о погружении [ править ]

Учитывая субмерсию между гладкими многообразиями на волокнах из , обозначаемых могут быть оборудованы со структурой гладкого многообразия. Из этой теоремы в сочетании с теоремой вложения Уитни следует, что любое гладкое многообразие можно описать как слой гладкого отображения .${\ displaystyle f \ двоеточие от M \ до N}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle М_ {х} = е ^ {- 1} (\ {р \})}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$

Например, рассмотрим задается матрица якобиан${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}$

Он имеет максимальный ранг во всех точках, кроме . Также волокна${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$

являются опорожнить для и равна в момент , когда . Следовательно, у нас есть только гладкая субмерсия, а подмножества являются двумерными гладкими многообразиями для .${\displaystyle t<0}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},}$${\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$${\displaystyle t>0}$

Примеры [ править ]

• Любая проекция ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$
• Локальные диффеоморфизмы
• Римановы погружения
• Проекция в гладком векторном расслоении или более общем гладком расслоении . Сюръективность дифференциала - необходимое условие существования локальной тривиализации .

Карты между сферами [ править ]

Один большой класс примеров погружений - это погружения между сферами более высокого измерения, такими как

${\displaystyle f:S^{n+k}\to S^{k}}$

чьи волокна имеют размер . Это связано с тем, что слои (прообразы элементов ) представляют собой гладкие многообразия размерности . Тогда, если мы пойдем по пути${\displaystyle n}$${\displaystyle p\in S^{k}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \gamma :I\to S^{k}}$

и взять откат

${\displaystyle {\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}}$

мы получаем пример особого вида бордизма , называемого рамочным бордизмом . Фактически, группы оснащенных кобордизмов тесно связаны со стабильными гомотопическими группами .${\displaystyle \Omega _{n}^{fr}}$

Семейства алгебраических многообразий [ править ]

Другой большой класс субмерсий - это семейства алгебраических многообразий , слои которых являются гладкими алгебраическими многообразиями. Если мы рассмотрим многообразия, лежащие в основе этих многообразий, мы получим гладкие многообразия. Например, семейство Weierstauss из эллиптических кривых является широко изученным погружением в воду , потому что она включает в себя множество технических сложностей , используемых для демонстрации более сложной теории, такие как пересечение гомология и извращенных пучки . Эту семью дает${\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to S}$${\displaystyle \pi :{\mathcal {W}}\to \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\}}$

где - аффинная линия, - аффинная плоскость. Поскольку мы рассматриваем комплексные многообразия, это эквивалентно пространства комплексной прямой и комплексной плоскости. Обратите внимание, что на самом деле мы должны удалить точки, потому что есть особенности (поскольку есть двойной корень).${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle t=0,1}$

Местная нормальная форма [ править ]

Если F : М → Н является погружение в воду на р и ф ( р ) = д ∈ N , то существует открытая окрестность U из р в М , открытая окрестность V из д в N , и локальные координаты ( х ₁ , ... , x _m ) в p и ( x ₁ ,…, x _n ) в q такие, чтоf ( U ) = V , и отображение f в этих локальных координатах является стандартной проекцией

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

Отсюда следует, что полный прообраз f ⁻¹ ( q ) в M регулярного значения q в N при дифференцируемом отображении f : M → N либо пуст, либо является дифференцируемым многообразием размерности dim M - dim N , возможно, несвязным . Это содержание теоремы о регулярном значении (также известной как теорема о погружении ). В частности, заключение верно для всех q в N, если отображение f является субмерсией.

Подводные топологические многообразия [ править ]

Субмерсии также хорошо определены для общих топологических многообразий . ^[3] Субмерсия топологического многообразия - это непрерывная сюръекция f  : M → N такая, что для всех p в M для некоторых непрерывных карт ψ в p и φ в f (p) отображение ψ ⁻¹ ∘ f ∘ φ равно на отображение проекции из R ^m в R ⁿ , где m = dim ( M ) ≥ n= dim ( N ) .

См. Также [ править ]

• Теорема Эресмана о расслоении

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Арнольд, Владимир И .; Гусейн-Заде, Сабир М .; Варченко, Александр Н. (1985). Особенности дифференцируемых отображений: Том 1 . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
• Брюс, Джеймс У .; Гиблин, Питер Дж. (1984). Кривые и особенности . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-42999-4. Руководство по ремонту  0774048 .
• Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994). Применимая дифференциальная геометрия . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-23190-9.
• ду Карму, Манфредо Пердигао (1994). Риманова геометрия . ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Франкель, Теодор (1997). Геометрия физики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-38753-1. Руководство по ремонту  1481707 .
• Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-20493-0.
• Косинский, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Штернберг, Шломо Цви (2012). Кривизна в математике и физике . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47855-5.