Тетрация


Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено с Tetrational )
Перейти к навигации Перейти к поиску

Красочная графика с яркими петлями, интенсивность которых увеличивается по мере того, как взгляд направляется вправо.
Домен окраска из голоморфной тетрации , с оттенком , представляющая функцией аргумента и яркость , представляющая величиной
Линейный график с кривыми, которые резко изгибаются вверх по мере увеличения значений на оси x
, для n = 2, 3, 4, ... , демонстрируя сходимость к бесконечно повторяющейся экспоненте между двумя точками

В математике , тетрация (или гипер-4 ) является операция на основе итерированного или повторяются, возведение в степень . Это следующая гипероперация после возведения в степень , но перед пентацией . Это слово было придумано Рубеном Луи Гудстайном от тетра- (четыре) и повторения .

Под определением повторного возведения в степень нотация Руди Ракера означает , что n копий a повторяются путем возведения в степень справа налево, т. Е. Применения времени возведения в степень . n называется «высотой» функции, а a называется «основанием», аналогично возведению в степень. Это будет читаться как « n- я тетрация а ».

Тетрация также определяется рекурсивно как

,

разрешая попытки расширить тетрацию до не натуральных чисел, таких как действительные и комплексные числа.

Две инверсии тетрации называются суперкорнем и суперлогарифмом , аналогично корню n-й степени и логарифмическим функциям. Ни одна из трех функций не является элементарной .

Тетрация используется для записи очень больших чисел .

Вступление

Здесь показаны первые четыре гипероперации , при этом тетрация считается четвертой в серии. Унарная операция Последовательность , определяемая как , считается нулевой операцией.

  1. Добавление
    n копий 1 добавлено к файлу .
  2. Умножение
    п копиисочетании добавлением.
  3. Возведение в степень
    n экземпляров a объединены путем умножения.
  4. Тетрация
    п копиясочетании с экспоненциацией, вправо-налево. [1]

Последовательность ( a ′ = a + 1) - самая простая операция; в то время как сложение ( a + n ) является первичной операцией, для сложения натуральных чисел его можно рассматривать как последовательную последовательность n последователей a ; Умножение ( a  ×  n ) также является основной операцией, хотя для натуральных чисел его можно аналогичным образом рассматривать как связанное сложение, включающее n чисел от a . Возведение в степень можно представить как последовательное умножение, включающее n чисел a и тетрации () как сцепленную степень, состоящую из n чисел a . Каждая из вышеперечисленных операций определяется повторением предыдущей; [2] однако, в отличие от операций до него, тетрация не является элементарной функцией .

Параметр a называется базой , а параметр n - высотой . В исходном определении тетрации параметр высоты должен быть натуральным числом; например, было бы нелогично сказать, что «три подняли к себе отрицание пять раз» или «четыре подняли к себе половину времени». Однако так же, как сложение, умножение и возведение в степень могут быть определены способами, позволяющими расширять действительные и комплексные числа, было предпринято несколько попыток обобщить тетрацию на отрицательные числа, действительные числа и комплексные числа. Один из таких способов - использовать рекурсивное определение тетрации; для любого положительного действительного и неотрицательного целого числа , мы можем определить рекурсивно как: [2]

Рекурсивное определение эквивалентно повторному возведению в степень для естественных высот; Однако, это определение допускает расширения для других высот , таких как , и так же - многие из этих расширений являются областями активных исследований.

Терминология

Существует множество терминов для обозначения тетрации, каждый из которых имеет определенную логику, но некоторые из них не стали широко использоваться по той или иной причине. Вот сравнение каждого термина с его обоснованием и контробоснованием.

  • Термин тетрация , введенный Гудстейном в его статье 1947 года « Трансфинитные порядки в рекурсивной теории чисел» [3] (обобщение рекурсивного базового представления, используемого в теореме Гудстейна для использования более высоких операций), стал доминирующим. Это также было популяризировано в « Бесконечности и разуме» Руди Ракера .
  • Термин сверхэкспоненциация был опубликован Бромером в его статье « Суперэкспоненцирование» в 1987 году. [4] Ранее он использовался Эдом Нельсоном в его книге «Предикативная арифметика», Princeton University Press, 1986.
  • Термин гиперсила [5] - это естественная комбинация гипер и мощи , которая точно описывает тетрацию. Проблема заключается в значении гипер по отношению к последовательности гиперопераций . При рассмотрении гиперопераций термин гипер относится ко всем рангам, а термин супер относится к рангу 4 или тетрации. Таким образом, с учетом этих соображений гиперсила вводит в заблуждение, поскольку имеет в виду только тетрацию.
  • Термин « силовая башня» [6] иногда используется в форме «силовая башня порядка n » для . Однако это неправильное название, потому что тетрация не может быть выражена с помощью повторяющихся степенных функций (см. Выше), поскольку это повторяющаяся экспоненциальная функция.

Частично из-за некоторой общей терминологии и подобной символики обозначений , тетрацию часто путают с тесно связанными функциями и выражениями. Вот несколько связанных терминов:

В первых двух выражениях a - это основание , а количество появлений a - это высота (добавьте единицу для x ). В третьем выражении n - высота , но каждое из оснований отличается.

Следует проявлять осторожность при обращении к повторяющимся экспонентам, так как выражения этой формы обычно называют повторным возведением в степень, что неоднозначно, поскольку это может означать либо повторные степени, либо повторные экспоненты .

Обозначение

Есть много разных стилей обозначений, которые можно использовать для выражения тетрации. Некоторые обозначения также могут использоваться для описания других гиперопераций , в то время как некоторые ограничиваются тетрацией и не имеют немедленного расширения.

В одной из приведенных выше обозначений используется итеративная экспоненциальная запись; в целом это определяется следующим образом:

с н а с.

Для повторяющихся экспонент не так много обозначений, но вот несколько:

Примеры

Из-за чрезвычайно быстрого роста тетрации большинство значений в следующей таблице слишком велики для записи в научных обозначениях. В этих случаях используется итеративная экспоненциальная запись, чтобы выразить их в базе 10. Значения, содержащие десятичную точку, являются приблизительными.

Характеристики

У тетрации есть несколько свойств, которые похожи на возведение в степень, а также свойства, которые являются специфическими для операции и теряются или приобретаются в результате возведения в степень. Поскольку возведение в степень не коммутируется , правила произведения и степени не имеют аналога с тетрацией; утверждения и не верны для большинства случаев. [9]

Однако тетрация имеет другое свойство, в котором . Этот факт наиболее наглядно демонстрируется с помощью рекурсивного определения. Из этого свойства следует доказательство , которое позволяет переключать b и c в некоторых уравнениях. Доказательство выглядит следующим образом:

Когда числа x и 10 взаимно просты , можно вычислить последние m десятичных цифр, используя теорему Эйлера , для любого целого числа m .

Направление оценки

При оценке тетрации, выраженной как «башня возведения в степень», последовательное возведение в степень сначала выполняется на самом глубоком уровне (в обозначениях - на вершине). [1] Например:

Этот порядок важен, потому что возведение в степень не ассоциативно , и оценка выражения в обратном порядке приведет к другому ответу:

Оценка выражения слева направо считается менее интересной; оценивая слева направо, любое выражение можно упростить . [10] Из-за этого башни необходимо оценивать справа налево (или сверху вниз). Программисты называют этот выбор правоассоциативным .

Расширения

Тетрацию можно продлить двумя способами; в уравнении и основание a, и высота n могут быть обобщены с использованием определения и свойств тетрации. Хотя основание и высота могут быть расширены за пределы неотрицательных целых чисел в различные области , включая сложные функции, такие как и высоты бесконечного n , более ограниченные свойства тетрации уменьшают возможность расширения тетрации.

Продление домена для баз

Базовый ноль

Показатель экспоненты не определен последовательно. Таким образом, тетрации четко не определены формулой, приведенной ранее. Однако хорошо определено и существует: [11]

Таким образом мы могли последовательно определять . Это аналогично определению .

В рамках этого расширения, так что правило из исходного определения все еще сохраняется.

Комплексные базы

Тетрация по периоду
Тетрация путем побега

Поскольку комплексные числа могут быть возведены в степени, тетрация может применяться к основам вида z = a + bi (где a и b действительные). Например, в n z с z = i тетрация достигается за счет использования главной ветви натурального логарифма; используя формулу Эйлера, получаем соотношение:

Это предлагает рекурсивное определение для n +1 i = a ′ + b′i для любого n i = a + bi :

Можно получить следующие приблизительные значения:

Решение обратной зависимости, как и в предыдущем разделе, дает ожидаемые 0 i = 1 и −1 i = 0 , с отрицательными значениями n, дающими бесконечные результаты на мнимой оси. Построенная на комплексной плоскости , вся последовательность закручивается по спирали до предела 0,4383 + 0,3606 i , что можно интерпретировать как значение, где n бесконечно.

Такие последовательности тетраций изучаются со времен Эйлера, но плохо изучены из-за их хаотического поведения. Исторически сложилось так, что большинство опубликованных исследований было сосредоточено на сходимости бесконечно повторяющейся экспоненциальной функции. Нынешним исследованиям в значительной степени способствовало появление мощных компьютеров с программным обеспечением для фрактальной и символьной математики. Многое из того, что известно о тетрации, получено из общих знаний о сложной динамике и конкретных исследований экспоненциальной карты. [ необходима цитата ]

Расширения домена на разную высоту

Бесконечные высоты

бесконечно итерированной экспоненты сходится для базисов
Функция на комплексной плоскости, показывающая вещественнозначную бесконечно повторяемую экспоненциальную функцию (черная кривая)

Тетрация может быть увеличена до бесконечных высот; т.е. для определенных значений a и n в существует хорошо определенный результат для бесконечного n . Это связано с тем, что для оснований в определенном интервале тетрация сходится к конечному значению, поскольку высота стремится к бесконечности . Например, сходится к 2, и поэтому можно сказать, что он равен 2. Тенденцию к 2 можно увидеть, оценив небольшую конечную башню:

В общем, бесконечно повторяемая экспонента , определяемая как предел, когда n стремится к бесконечности, сходится при e - exe 1 / e , примерно в интервале от 0,066 до 1,44, результат, показанный Леонардом Эйлером . [12] Предел, если он существует, является положительным вещественным решением уравнения y = x y . Таким образом, x = y 1 / y . Предел, определяющий бесконечную экспоненту x , не существует, когда x > e 1 /e, потому что максимум y 1 / y равен e 1 / e . Предел также не существует, когда0 < x < e - e .

Это может быть расширено до комплексных чисел z с определением:

где W представляет W-функцию Ламберта .

Поскольку предел y = x (если он существует на положительной вещественной прямой, т. Е. Для e - exe 1 / e ) должен удовлетворять x y = y, мы видим, что xy = x is (нижняя ветвь ) функция, обратная yx = y 1 / y .

Отрицательные высоты

Мы можем использовать рекурсивное правило для тетрации,

доказать :

Подставляя −1 вместо k, получаем

. [10]

Таким образом нельзя точно определить меньшие отрицательные значения. Подставляя −2 вместо k в том же уравнении, получаем

который не совсем точно определен. Однако иногда их можно рассматривать как наборы. [10]

Ибо любое определение согласуется с правилом, потому что

для любого .

Реальные высоты

В настоящее время не существует общепринятого решения общей проблемы расширения тетрации до действительных или комплексных значений n . Однако к этому вопросу применялось несколько подходов, и различные подходы изложены ниже.

В общем, проблема заключается в нахождении - для любого действительного a > 0 - суперэкспоненциальной функции над действительным x > −2, которая удовлетворяет

  • для всего реального [13]

Чтобы найти более естественное расширение, обычно требуется одно или несколько дополнительных требований. Обычно это некоторая совокупность следующего:

  • Непрерывности требование ( как правило , только , что является непрерывным в обоих переменных ).
  • Дифференцируемоести требование (может быть один, два, K раз, или бесконечно дифференцируемых в х ).
  • Регулярность требование (подразумевая дважды дифференцируемых в х ) , что:
для всех

Четвертое требование различается от автора к автору и от подходов. Есть два основных подхода к расширению тетрации до реальных высот; один основан на требовании регулярности , а другой основан на требовании дифференцируемости . Эти два подхода кажутся настолько разными, что их нельзя согласовать, поскольку они дают результаты, несовместимые друг с другом.

Когда определено для интервала длины один, вся функция легко следует для всех x > −2 .

Линейное приближение для реальных высот
с использованием линейного приближения

Линейное приближение (решение к требованию непрерывности, приближение к требованию дифференцируемости) определяется по формуле:

следовательно:

и так далее. Однако он дифференцируем только кусочно; при целых значениях x производная умножается на . Он непрерывно дифференцируем тогда и только тогда, когда . Например, используя эти методы и

Основная теорема в статье Хушманда [7] гласит: Пусть . Если является непрерывным и удовлетворяет условиям:

  • дифференцируема на (−1, 0) ,
  • - неубывающая или невозрастающая функция на (−1, 0) ,

то однозначно определяется уравнением

где обозначает дробную часть х , а это - итерированная функция функции .

Доказательство состоит в том, что из условий со второго по четвертое тривиально следует, что f является линейной функцией на [−1, 0] .

Линейная аппроксимация естественной функции тетрации непрерывно дифференцируема, но ее вторая производная не существует при целых значениях ее аргумента. Хушманд вывел для него другую теорему единственности, которая гласит:

Если - непрерывная функция, удовлетворяющая:

  • выпукла на (−1, 0) ,

тогда . [Вот имя Хушманда для линейного приближения к естественной функции тетрации.]

Доказательство почти такое же, как и раньше; рекурсивное уравнение гарантирует, что, а затем из условия выпуклости следует, что это линейно на (−1, 0) .

Таким образом, линейное приближение к естественной тетрации является единственным решением уравнения и который является выпуклым на (-1, + ∞) . Все остальные достаточно дифференцируемые решения должны иметь точку перегиба на интервале (−1, 0) .

Аппроксимации высших порядков для реальных высот
Сравнение линейного и квадратичного приближения (красного и синего цветов соответственно) функции от x = −2 до x = 2.

Помимо линейных приближений, квадратичное приближение (к требованию дифференцируемости) определяется следующим образом:

которая дифференцируема для всех , но не дифференцируема дважды. Например, если это то же самое, что и линейное приближение. [2]

Из-за способа вычисления эта функция не «сокращается», в отличие от экспонент, где . А именно,

.

Так же, как существует квадратичное приближение, существуют также кубические приближения и методы обобщения на приближения степени n , хотя они гораздо более громоздкие. [2] [14]

Сложные высоты

Рисование аналитического продолжения тетрации на комплексную плоскость. Уровни и уровни показаны толстыми кривыми.

Теперь доказано [15], что существует единственная функция F, которая является решением уравнения F ( z + 1) = exp ( F ( z )) и удовлетворяет дополнительным условиям, что F (0) = 1 и F ( г ) приближается к неподвижным точкам логарифма (примерно 0,318 ± 1,337 я ) в г приближается ± я и F является голоморфным во всем комплексном г-плоскость, за исключением части действительной оси при z ≤ −2 . Это доказательство подтверждает предыдущую гипотезу . [16] Построение такой функции было первоначально продемонстрировано Кнезером в 1950 году. [17] Комплексное отображение этой функции показано на рисунке справа. Доказательство также работает для других оснований, кроме e , если основание больше, чем . Последующие работы распространили строительство на все сложные базы. Комплексное приближение двойной точности этой функции доступно в Интернете. [18]

Требование голоморфности тетрации важно для ее уникальности. Многие функции S могут быть построены как

где α и β - действительные последовательности, которые убывают достаточно быстро, чтобы обеспечить сходимость ряда , по крайней мере, при умеренных значениях Im  z .

Функция S удовлетворяет уравнениям тетрации S ( z + 1) = exp ( S ( z )) , S (0) = 1 , и если α n и β n стремятся к 0 достаточно быстро, она будет аналитической в ​​окрестности положительного реальная ось. Однако, если некоторые элементы { α } или { β } не равны нулю, то функция S имеет множество дополнительных сингулярностей и разрезов в комплексной плоскости из-за экспоненциального роста sin и cos вдоль мнимой оси; чем меньше коэффициенты {α } и { β } , чем дальше эти особенности от действительной оси.

Распространение тетрации на комплексную плоскость, таким образом, существенно для уникальности; вещественно-аналитическая тетрация не является уникальной.

Неэлементарная рекурсивность

Тетрация (ограниченная ) не является элементарной рекурсивной функцией . По индукции можно доказать, что для каждой элементарной рекурсивной функции f существует константа c такая, что

Обозначим правую часть через . Предположим противное, что тетрация элементарно рекурсивна. также элементарно рекурсивно. По полученному неравенству существует постоянная c такая, что . Допуская , мы получаем противоречие.

Обратные операции

Возведение в степень имеет две обратные операции; корни и логарифмы . Аналогично, обратные числа к тетрации часто называют суперкорнем и суперлогарифмом (на самом деле, все гипероперации, большие или равные 3, имеют аналогичные обратные); например, в функции две инверсии - это кубический суперкорень y и основание суперлогарифма  y числа x .

Супер-корень

Суперкорень - это операция, обратная тетратированию по отношению к основанию: если , то y является n- м суперкорнем x ( или ).

Например,

так что 2 - это 4-й суперкорень из 65 536.

Квадратный суперкорень

График

Второй порядок супер-корень , квадрат супер-корень , или супер квадратный корень имеет два эквивалентных обозначение, и . Она является обратной и может быть представлена функцией Ламберта W : [19]

Функция также иллюстрирует отражающую природу функций корня и логарифма, поскольку приведенное ниже уравнение справедливо только в том случае, если :

Как и квадратные корни , квадратный суперкорень из x может не иметь единственного решения. В отличие от квадратных корней, определение количества квадратных суперкорней x может быть трудным. В общем, если , то x имеет два положительных квадратных суперкорня между 0 и 1; и если , то x имеет один положительный квадратный суперкорень больше 1. Если x положителен и меньше, он не имеет никаких вещественных квадратных суперкорней, но приведенная выше формула дает счетное бесконечное число комплексных корней для любого конечного x не равно 1. [19]Функция использовалась для определения размера кластеров данных . [20]

В :

Другие супер-корни

График

Для каждого целого числа п > 2 , функция п х определена и возрастает при х ≥ 1 , а п 1 = 1 , так что п - й супер-корень х , , существует при х ≥ 1 .

Одной из более простых и быстрых формул суперкорня третьей степени является рекурсивная формула, если: «x ^ x ^ x = a», а затем x (n + 1) = exp (W (W (x (n ) * ln (a)))), например x (0) = 1.

Однако, если используется приведенное выше линейное приближение , то если −1 < y ≤ 0 , значит, существовать не может.

Точно так же, как квадратный суперкорень, терминология для других суперкорней может быть основана на нормальных корнях : «кубические суперкорни» могут быть выражены как ; «4-й суперкорень» можно выразить как ; а " n- й супер-корень" есть . Обратите внимание, что это может быть не однозначно определено, потому что может быть более одного корня n- й степени . Так , например, х имеют единственный (реальный) супер-корень , если п является нечетным , и до двух , если п является даже . [ необходима цитата ]

Так же, как с расширением тетрации до бесконечных высот, суперкорень может быть расширен до n = ∞ , будучи корректно определенным, если 1 / exe . Обратите внимание на это и, следовательно, на то . Следовательно, когда она четко определена и, в отличие от обычной тетрации, является элементарной функцией . Например, .

Из теоремы Гельфонда – Шнайдера следует, что суперкорень для любого натурального числа n либо целочислен, либо трансцендентен , и может быть целым или иррациональным. [21] Остается открытым вопрос, являются ли иррациональные суперкорни трансцендентными в последнем случае.

Суперлогарифм

После выбора непрерывно возрастающего (по x ) определения тетрации x a соответствующий суперлогарифм or определяется для всех действительных чисел x и a > 1 .

Функция slog a x удовлетворяет:

Открытые вопросы

Помимо проблем с расширениями тетрации, есть несколько открытых вопросов, касающихся тетрации, особенно когда это касается отношений между системами счисления, такими как целые числа и иррациональные числа :

  • Неизвестно, существует ли натуральное число n, для которого n π или n e является целым числом. В частности, неизвестно, является ли 4 π или 5 e целым числом. [ необходима цитата ]
  • Неизвестно, является ли n q целым числом для любого положительного целого числа n и положительного нецелого рационального q . [21] Например, неизвестно, является ли положительный корень уравнения 4 x = 2 рациональным числом. [ необходима цитата ]

Смотрите также

  • Функция Аккермана
  • Обозначение Big O
  • Двойная экспоненциальная функция
  • Гипероперация
  • Итерированный логарифм
  • Симметричная арифметика индекса уровня

Примечания

  1. ^ Нотацию n x Рудольфа фон Биттера Рукера (1982), введенную Гансом Маурером (1901) и Рубеном Луи Гудстейном (1947) для тетрации, не следует путать собозначениями Альфреда Прингсхайма и Жюля Молька (1907). n f ( x ) для обозначения повторяющихся функциональных композиций , а также собозначением n x перед верхним индексом Дэвида Паттерсона Эллермана (1995)для корней .

использованная литература

  1. ^ a b «Производная от $ x ^ x $, $ x ^ {x ^ x} $, и предприятие по борьбе и гиперэкспоненциации» . Математическое хранилище . 2016-01-01 . Проверено 25 июля 2019 .
  2. ^ a b c d Нейринк, Марк. Исследование арифметических операций. Проверено 9 января 2019.
  3. ^ RL Гудштейн (1947). «Трансфинитные ординалы в рекурсивной теории чисел». Журнал символической логики . 12 (4): 123–129. DOI : 10.2307 / 2266486 . JSTOR 2266486 . 
  4. ^ Н. Бромер (1987). «Суперэкспоненциация». Математический журнал . 60 (3): 169–174. DOI : 10.1080 / 0025570X.1987.11977296 . JSTOR 2689566 . 
  5. ^ JF Макдоннелл (1989). «Некоторые критические точки сверхмощной функции » . Международный журнал математического образования . 20 (2): 297–305. DOI : 10.1080 / 0020739890200210 . Руководство по ремонту 0994348 . x x … {\displaystyle x^{x^{\dots }}}  
  6. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Power Tower" . MathWorld .
  7. ^ a b Hooshmand, MH (2006). «Сверхмощные и ультраэкспоненциальные функции». Интегральные преобразования и специальные функции . 17 (8): 549–558. DOI : 10.1080 / 10652460500422247 . S2CID 120431576 .  
  8. ^ "Power Verb" . J Словарь . J Software . Проверено 28 октября 2011 .
  9. ^ Мейбург, Александр (2014). «Аналитическое расширение проникновения через продукт Power-Tower» (PDF) . Проверено 29 ноября 2018 .
  10. ^ a b c Мюллер, М. "Рейхеналгебра: что выходит за рамки возведения в степень?" (PDF) . Проверено 12 декабря 2018 .
  11. ^ «Восхождение по лестнице гипероператоров: тетрация» . math.blogoverflow.com . Блог по математике Stack Exchange . Проверено 25 июля 2019 .
  12. ^ Эйлер, Л. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Научный. Петрополь. 2 , 29–51, 1783. Перепечатано в Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: алгебраические комментарии . Лейпциг, Германия: Teubner, стр. 350–369, 1921 г. ( факсимиле )
  13. ^ Траппманн, Хенрик; Кузнецов, Дмитрий (28.06.2010). «5+ методов реальной аналитической тетрации» . Проверено 5 декабря 2018 .
  14. ^ Эндрю Роббинс. Решение аналитического кусочного продолжения тетрации и суперлогарифма . Расширения находятся во второй части статьи «Начало результатов».
  15. ^ Paulsen, W .; Каугилл, С. (март 2017 г.). «Решение в комплексной плоскости» (PDF) . Успехи в вычислительной математике . 43 : 1–22. DOI : 10.1007 / s10444-017-9524-1 . S2CID 9402035 . F ( z + 1 ) = b F ( z ) {\displaystyle F(z+1)=b^{F(z)}}  
  16. ^ Кузнецов, Д. (июль 2009). «Решение проблемы в комплексной плоскости» (PDF) . Математика вычислений . 78 (267): 1647–1670. DOI : 10.1090 / S0025-5718-09-02188-7 . F ( z + 1 ) = exp ⁡ ( F ( z ) ) {\displaystyle F(z+1)=\exp(F(z))} z {\displaystyle z}
  17. ^ Кнезер, H. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung und verwandter Funktionalgleichungen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 187 : 56–67.
  18. Перейти ↑ Paulsen, W. (июнь 2018). «Тетрация для сложных основ». Успехи в вычислительной математике . 45 : 243–267. DOI : 10.1007 / s10444-018-9615-7 . S2CID 67866004 . 
  19. ^ а б Корлесс, РМ; Gonnet, GH; Заяц, ДЭГ; Джеффри, диджей; Knuth, DE (1996). «О функции Ламберта W» ( PostScript ) . Успехи в вычислительной математике . 5 : 333. arXiv : 1809.07369 . DOI : 10.1007 / BF02124750 . S2CID 29028411 .  
  20. ^ Кришнам, Р. (2004), « Эффективная самоорганизация больших беспроводных сенсорных сетей » - Диссертация, БОСТОНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ, ИНЖЕНЕРНЫЙ КОЛЛЕДЖ. стр. 37–40
  21. ^ Б Маршалл, Ash J., и Тан, Yiren, «Рациональное число вида в с иррациональным», Математической газетой 96, март 2012, стр. 106-109.
  • Даниэль Гейслер, Tetration
  • Иоаннис Галидакис, О расширении hyper4 на нецелые числа (без даты, 2006 г. или ранее) (более простой и удобный для чтения обзор следующей ссылки)
  • Иоаннис Галидакис, О расширении Hyper4 и нотации стрелки вверх Кнута на вещественные числа (без даты, 2006 г. или ранее).
  • Роберт Мунафо, Расширение функции hyper4 на вещественные числа (неформальное обсуждение расширения тетрации на действительные числа.)
  • Лоде Вандевенне, Тетрация квадратного корня из двух . (2004). (Попытка расширить тетрацию до действительных чисел.)
  • Иоаннис Галидакис, математика , (Окончательный список ссылок на исследования тетрации. Много информации о W-функции Ламберта, римановых поверхностях и аналитическом продолжении.)
  • Джозеф МакДонелл, Некоторые критические точки функции гипермощности .
  • Дэйв Л. Ренфро, веб-страницы для бесконечно повторяющихся экспонент
  • Кнобель, Р. (1981). «Экспоненты повторяются». Американский математический ежемесячник . 88 (4): 235–252. DOI : 10.1080 / 00029890.1981.11995239 .
  • Ханс Маурер, "Убер Die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen)". Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft в Гамбурге 4 , (1901), стр. 33–50. (Ссылка на использование из статьи Кнобеля.)
  • Четвертая операция
  • Лука Морони, Странные свойства башни бесконечной силы ( https://arxiv.org/abs/1908.05559 )

дальнейшее чтение

  • Галидакис, Иоаннис; Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Энергетическая башня» . MathWorld . Проверено 5 июля 2019 .
Источник « https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tetration&oldid=1040794087 »