Термодинамическая бета

Шкала преобразования температуры / холода SI : температуры в шкале Кельвина показаны синим (шкала Цельсия - зеленым, шкала Фаренгейта - красным), значения холода в гигабайтах на наноджоуль показаны черным. Бесконечная температура (ноль холода) показана вверху диаграммы; положительные значения холода / температуры находятся справа, отрицательные значения - слева.

В статистической термодинамике , термодинамическая бета , также известная как холодности , является обратной величиной термодинамической температуры системы:

${\ Displaystyle \ бета = {\ гидроразрыва {1} {к _ {\ rm {B}} T}}}$(где T - температура, а k _B - постоянная Больцмана ). ^[1]

Первоначально он был введен в 1971 году (как Kältefunktion «холодность функции») по Инго Мюллер  [ де ] , один из сторонников рациональной термодинамики школы мысли, ^[2] на основе предыдущих предложений для функции «обратной температуры». ^{[3] [4]}

Термодинамические бета имеют единицы к тому , что взаимной энергии (в системе единиц СИ , взаимных джоулей , ). В нетепловых единицах это также может быть измерено в байтах на джоуль или, что более удобно, в гигабайтах на наноджоуль; ^[5] 1 К ^-1 эквивалентен примерно 13 062 гигабайтам на наноджоуль; при комнатной температуре: T = 300K, β ≈${\ Displaystyle [\ бета] = {\ textrm {J}} ^ {- 1}}$44 ГБ / нДж ≈39  эВ ⁻¹ ≈2,4 × 10 ²⁰  Дж ⁻¹ . Коэффициент преобразования составляет 1 ГБ / нДж = Дж ^-1 .${\ displaystyle 8 \ ln 2 \ times 10 ^ {18}}$

Описание [ править ]

Термодинамическая бета - это, по сути, связь между теорией информации и статистической механикой интерпретации физической системы через ее энтропию и термодинамикой, связанной с ее энергией . Он выражает реакцию энтропии на увеличение энергии. Если система получает вызов с небольшим количеством энергии, то β описывает количество, которое система будет рандомизировать.

Используя статистическое определение температуры как функции энтропии, функция холода может быть вычислена в микроканоническом ансамбле по формуле

${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}} T}} \, = {\ frac {1} {k _ {\ rm {B}}}} \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial E}} \ right) _ {V, N}}$

(т.е. частная производная энтропии S по энергии E при постоянном объеме V и числе частиц N ).

Преимущества [ править ]

Хотя по концептуальному содержанию она полностью эквивалентна температуре, β обычно считается более фундаментальной величиной, чем температура, из-за явления отрицательной температуры , при которой β непрерывна, поскольку она пересекает ноль, тогда как T имеет сингулярность. ^[6]

Кроме того, β имеет то преимущество, что его легче понять причинно: если к системе добавлено небольшое количество тепла, β - это увеличение энтропии, деленное на увеличение тепла. Температуру трудно интерпретировать в том же смысле, поскольку невозможно «добавить энтропию» к системе, кроме как косвенно, путем изменения других величин, таких как температура, объем или количество частиц.

Статистическая интерпретация [ править ]

Со статистической точки зрения β - это числовая величина, связывающая две макроскопические системы в равновесии. Точная формулировка следующая. Рассмотрим две системы 1 и 2, находящиеся в тепловом контакте, с соответствующими энергиями E ₁ и E ₂ . Мы предполагаем , E ₁ + E ₂ = некоторая константа Е . Число микросостояний каждой системы обозначим Ω ₁ и Ω ₂ . В наших предположениях Ω _i зависит только от E _i . Мы также предполагаем, что любое микросостояние системы 1, совместимое с E ₁может сосуществовать с любым микросостоянием системы 2, совместимым с E ₂ . Таким образом, количество микросостояний для объединенной системы равно

${\ displaystyle \ Omega = \ Omega _ {1} (E_ {1}) \ Omega _ {2} (E_ {2}) = \ Omega _ {1} (E_ {1}) \ Omega _ {2} ( E-E_ {1}). \,}$

Мы выведем β из фундаментального предположения статистической механики :

Когда комбинированная система достигает равновесия, число Ω увеличивается до максимума.

(Другими словами, система естественным образом ищет максимальное количество микросостояний.) Следовательно, в состоянии равновесия

${\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.}$

Но из E ₁ + E ₂ = E следует

${\displaystyle {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.}$

Так

${\displaystyle \Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0}$

т.е.

${\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{at equilibrium.}}}$

Вышеупомянутое соотношение мотивирует определение β :

${\displaystyle \beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.}$

Связь статистического представления с термодинамическим представлением [ править ]

Когда две системы находятся в равновесии, они имеют ту же термодинамическую температуру Т . Таким образом, интуитивно можно было бы ожидать, что β (как определено через микросостояния) каким-то образом связана с T. Эта ссылка обеспечивается фундаментальным предположением Больцмана, записанным как

${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,\,}$

где k _B - постоянная Больцмана , S - классическая термодинамическая энтропия, а Ω - количество микросостояний. Так

${\displaystyle d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.}$

Подстановка в определение β из приведенного выше статистического определения дает

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.}$

Сравнение с термодинамической формулой

${\displaystyle {\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},}$

у нас есть

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}}$

где называется основной температурой системы и имеет единицы энергии.${\displaystyle \tau }$

См. Также [ править ]

• Распределение Больцмана
• Канонический ансамбль
• Модель Изинга

Ссылки [ править ]