Топология (электрические схемы)

Топология электронной схемы является формой , принятой сетью взаимосвязей компонентов схемы. Различные конкретные значения или рейтинги компонентов рассматриваются как одна и та же топология. Топология не связана ни с физическим расположением компонентов в цепи, ни с их положением на принципиальной схеме ; подобно математической концепции топологии , она касается только того, какие связи существуют между компонентами. Может существовать множество физических схем и принципиальных схем, составляющих одну и ту же топологию.

Строго говоря, замена компонента на компонент совершенно другого типа остается той же топологией. Однако в некоторых контекстах их можно условно описать как разные топологии. Например, замена катушек индуктивности и конденсаторов в фильтре нижних частот приводит к созданию фильтра верхних частот. Их можно назвать топологиями верхних и нижних частот, даже если топология сети идентична. Более правильным термином для этих классов объектов (то есть сети, в которой указан тип компонента, но не абсолютное значение) является сеть прототипов .

Топология электронной сети связана с математической топологией , в частности, для сетей, содержащих только двухполюсные устройства, топологию схемы можно рассматривать как приложение теории графов . При сетевом анализе такой схемы с топологической точки зрения узлы сети являются вершинами теории графов, а ветви сети - ребрами теории графов.

Стандартная теория графов может быть расширена для работы с активными компонентами и многополюсными устройствами, такими как интегральные схемы . Графики также можно использовать при анализе бесконечных сетей .

Принципиальные схемы [ править ]

В принципиальных схемах в этой статье следует обычным конвенциям в электронике; ^[1] линии представляют проводники, закрашенные маленькие кружки представляют соединения проводников, белые маленькие кружки представляют собой клеммы для подключения к внешнему миру. В большинстве случаев импедансы представлены прямоугольниками. На практической принципиальной схеме будут использоваться специальные символы для резисторов , катушек индуктивности , конденсаторов и т. Д., Но топология не связана с типом компонента в сети, поэтому вместо этого используется символ общего импеданса .

В разделе теории графов этой статьи дается альтернативный метод представления сетей.

Имена топологии [ править ]

Многие названия топологий связаны с их внешним видом при схематическом изображении. Большинство цепей можно нарисовать разными способами и, следовательно, иметь множество названий. Например, все три схемы, показанные на рисунке 1.1, выглядят по-разному, но имеют идентичную топологию. ^[2]

Этот пример также демонстрирует общее соглашение об именах топологий после буквы алфавита, с которой они имеют сходство. Таким же образом можно использовать буквы греческого алфавита, например топологию Π ( pi ) и топологию Δ ( дельта ).

Последовательная и параллельная топологии [ править ]

Для сети с двумя ветвями возможны только две топологии: последовательная и параллельная .

Даже для этих простейших топологий существуют варианты представления схемы.

Для сети с тремя ветвями есть четыре возможных топологии;

Обратите внимание, что топология параллельных последовательностей - это еще одно представление топологии Delta, обсуждаемое позже.

Последовательные и параллельные топологии можно продолжать строить с все большим и большим числом ветвей до бесконечности . Количество уникальных топологий, которые могут быть получены из n ветвей, равно 2 ^n-1 . Общее количество уникальных топологий, которые можно получить не более чем с n ветвями, равно 2 ⁿ -1. ^[3]

Y и Δ топологии [ править ]

Y и Δ являются важными топологиями в линейном сетевом анализе, поскольку они являются простейшими из возможных трехконцевых сетей. Для линейных цепей доступно преобразование Y-Δ . Это преобразование важно, потому что есть некоторые сети, которые нельзя анализировать с точки зрения последовательных и параллельных комбинаций. Эти сети часто возникают в трехфазных силовых цепях, поскольку они представляют собой две наиболее распространенные топологии для обмоток трехфазного двигателя или трансформатора.

Примером этого является сеть на рисунке 1.6, состоящая из сети Y, подключенной параллельно сети Δ. Скажем, нужно рассчитать импеданс между двумя узлами сети. Во многих сетях это можно сделать путем последовательного применения правил комбинирования последовательных или параллельных импедансов. Однако это невозможно в этом случае, когда требуется преобразование Y-Δ в дополнение к правилам последовательного и параллельного выполнения. ^[4] Топология Y также называется звездной топологией. Однако звездообразная топология может также относиться к более общему случаю, когда к одному и тому же узлу подключено множество ветвей, а не только три. ^[5]

Простые топологии фильтров [ править ]

Топологии, показанные на рисунке 1.7, обычно используются для конструкций фильтров и аттенюаторов . Г-образная секция идентична топологии потенциального делителя. Топология тройника идентична топологии Y. Топология section-секции идентична топологии Δ.

Все эти топологии можно рассматривать как короткий раздел лестничной топологии . Более длинные участки обычно называют лестничной топологией. Подобные схемы обычно анализируются и характеризуются как двухпортовые сети . ^[6]

Топология моста [ править ]

Мостовая топология - важная топология, которая широко используется как в линейных, так и в нелинейных приложениях, включая, среди прочего, мостовой выпрямитель , мост Уитстона и решетчатый фазовый эквалайзер . Есть несколько способов визуализации топологии моста на принципиальных схемах. Первое изображение на рисунке 1.8 является традиционным изображением мостовой схемы. Вторая визуализация четко показывает эквивалентность между топологией моста и топологией, полученной последовательными и параллельными комбинациями. Третья визуализация более известна как топология решетки. Не так очевидно, что это топологически эквивалентно. Можно увидеть, что это действительно так, визуализируя перемещение верхнего левого узла вправо от верхнего правого узла.

Называть топологию сетевого моста нормально только в том случае, если она используется как двухпортовая сеть с портами ввода и вывода, каждый из которых состоит из пары диагонально противоположных узлов. Можно увидеть, что блочная топология на рисунке 1.7 идентична топологии моста, но в случае фильтра входные и выходные порты представляют собой пару смежных узлов. Иногда компонент загрузки (или нулевой индикации) на выходном порте моста будет включен в топологию моста, как показано на рисунке 1.9. ^[7]

Мостовые Т-образные и двойные Т-топологии [ править ]

Топология Bridged T получена из топологии моста, как описано в статье о сети Zobel . В той же статье также обсуждается множество производных топологий.

Существует также топология двойного тройника, которая имеет практическое применение, когда желательно, чтобы вход и выход имели общий ( заземляющий ) терминал. Это может быть, например, потому, что входные и выходные соединения выполнены по коаксиальной топологии . Соединение вместе входных и выходных клемм недопустимо при обычной мостовой топологии, и по этой причине Twin-T используется там, где мост в противном случае использовался бы для приложений измерения баланса или нуля. Топология также используется в генераторе двойного Т-образного сигнала в качестве генератора синусоидальной волны. В нижней части рисунка 1.11 показана перерисованная топология двойного тройника, чтобы подчеркнуть связь с топологией моста. ^[8]

Бесконечные топологии [ править ]

Лестничную топологию можно неограниченно расширять, и она широко используется в конструкциях фильтров. Существует множество вариантов релейной топологии, некоторые из которых обсуждаются в статьях о топологии электронного фильтра и о композитном фильтре изображения .

Сбалансированная форма лестничной топологии может рассматриваться как график стороны призмы произвольного порядка. Сторона антипризмы образует топологию, которая в этом смысле является анти-лестницей. Топология Anti-Ladder находит применение в схемах умножителя напряжения , в частности, в генераторе Кокрофта-Уолтона . Существует также полноволновая версия генератора Кокрофта-Уолтона, в которой используется двойная анти-лестничная топология. ^[9]

Бесконечные топологии также могут быть сформированы путем каскадирования нескольких секций какой-либо другой простой топологии, такой как секции решетки или моста-T. Такие бесконечные цепочки секций решетки встречаются при теоретическом анализе и искусственном моделировании линий передачи , но редко используются в качестве практической реализации схемы. ^[10]

Компоненты с более чем двумя выводами [ править ]

Цепи, содержащие компоненты с тремя или более терминалами, значительно увеличивают количество возможных топологий. И наоборот, количество различных схем, представленных топологией, уменьшается, и во многих случаях схема легко распознается по топологии, даже если конкретные компоненты не идентифицированы.

В случае более сложных схем описание может продолжаться путем определения передаточной функции между портами сети, а не топологии компонентов. ^[11]

Теория графов [ править ]

Теория графов - это раздел математики, имеющий дело с графами . В сетевом анализе графики широко используются для представления анализируемой сети. График сети отражает только определенные аспекты сети; те аспекты, которые связаны с его подключением, или, другими словами, с его топологией. Это может быть полезным представлением и обобщением сети, потому что многие сетевые уравнения инвариантны для сетей с одной и той же топологией. Сюда входят уравнения, полученные из законов Кирхгофа и теоремы Теллегена . ^[12]

История [ править ]

Теория графов использовалась в сетевом анализе линейных пассивных сетей практически с момента формулирования законов Кирхгофа. Сам Густав Кирхгоф в 1847 году использовал графы как абстрактное представление сети в своем петлевом анализе резистивных цепей. ^[13] Этот подход позже был распространен на RLC-схемы, заменив сопротивления импедансами. В 1873 году Джеймс Клерк Максвелл представил двойной анализ с помощью узлового анализа. ^{[14] [15]} Максвелл также отвечает за топологическую теорему о том, что определитель матрицы узловой проводимости равен сумме всех произведений проводной проводимости дерева. В 1900 году Анри Пуанкареввел идею , представляющий график его матрица инцидентности , ^[16] , следовательно , учредительное поле алгебраической топологии . В 1916 году Освальд Веблен применил алгебраическую топологию Пуанкаре к анализу Кирхгофа. ^[17] Веблен также отвечает за введение связующего дерева для помощи в выборе совместимого набора сетевых переменных. ^[18]

Всесторонняя каталогизация сетевых графов применительно к электрическим цепям началась с Перси Мак-Магона в 1891 году (с дружественной инженеру статьи в «Электрик» в 1892 году), который ограничил свой обзор последовательными и параллельными комбинациями. Мак-Магон назвал эти графы ярмо-цепями. ^{[примечание 1]} Рональд М. Фостер в 1932 году классифицировал графы по их нулевому значению или рангу и предоставил диаграммы всех графов с небольшим количеством узлов. Эта работа выросла из более раннего исследования, проведенного Фостером во время сотрудничества с Джорджем Кэмпбеллом в 1920 году по 4-портовым телефонным повторителям, и произвела 83539 отдельных графиков. ^[19]

Долгое время топология в теории электрических цепей касалась только линейных пассивных сетей. Более поздние разработки полупроводниковых устройств и схем потребовали новых инструментов в топологии для их работы. Огромное увеличение сложности схем привело к использованию комбинаторики в теории графов для повышения эффективности компьютерных вычислений. ^[18]

Графики и принципиальные схемы [ править ]

Сети обычно классифицируются по типу электрических элементов, из которых они состоят. На принципиальной схеме эти типы элементов специально нарисованы, каждый со своим уникальным символом. Резистивные сети - это одноэлементные сети, состоящие только из R элементов. Аналогичным образом, емкостные или индуктивные сети являются одноэлементными. В RC , RL и LC схемы простые двухэлементная-добрые сети. RLC - контур является самой простой из трех элементов в своем роде сеть. LC лестница сеть обычно используется для фильтров нижних частот может иметь множество элементов , но это еще один пример из двух элементов роде сетей. ^[20]

И наоборот, топология касается только геометрических отношений между элементами сети, а не самих элементов. Сердцем топологического представления сети является граф сети. Элементы представлены как ребра графа. Край рисуется в виде линии, заканчивающейся точками или маленькими кружками, из которых могут исходить другие края (элементы). В схемном анализе ребра графа называются ветвями . Точки называются вершинами графа и представляют узлы сети. Узел и вершина- это термины, которые могут быть взаимозаменяемыми при обсуждении графов сетей. На рис. 2.2 показано графическое представление схемы на рис. 2.1. ^[21]

Графики, используемые в сетевом анализе, обычно представляют собой как ориентированные графы , чтобы фиксировать направление тока и напряжения, так и маркированные графы , чтобы фиксировать уникальность ветвей и узлов. Например, граф, состоящий из квадрата ветвей, все равно был бы тем же топологическим графом, если бы две ветви были поменяны местами, если только ветви не были однозначно помечены. В ориентированных графах два узла, к которым подключается ветвь, обозначаются как исходный и целевой узлы. Обычно они обозначаются стрелкой, нарисованной на ветке. ^[22]

Заболеваемость [ править ]

Частота - одно из основных свойств графика. Ребро, которое соединено с вершиной, называется инцидентным этой вершине. Случайность графика может быть зафиксирована в матричном формате с помощью матрицы, называемой матрицей инцидентности. Фактически, матрица инцидентности - это альтернативное математическое представление графика, которое не требует каких-либо рисунков. Строки матрицы соответствуют узлам, а столбцы матрицы соответствуют ветвям. Элементы матрицы либо равны нулю, если нет инцидентности, либо единице, если инцидент между узлом и ветвью. Направление в ориентированных графах обозначается знаком элемента. ^{[18] [23]}

Эквивалентность [ править ]

Графы эквивалентны, если один можно преобразовать в другой путем деформации. Деформация может включать в себя операции перемещения , поворота и отражения ; сгибание и вытягивание веток; и скрещивание или завязывание ветвей. Два графа, эквивалентные по деформации, называются конгруэнтными . ^[24]

В области электрических сетей есть два дополнительных преобразования, которые, как считается, приводят к эквивалентным графам, которые не дают конгруэнтных графов. Первый из них - это чередование последовательно соединенных ветвей. Это двойная замена параллельно соединенных ветвей, которая может быть достигнута путем деформации без применения специального правила. Второй касается графов, разделенных на две или более отдельных частей , то есть графа с двумя наборами узлов, у которых нет ветвей, относящихся к узлу в каждом наборе. Две такие отдельные части считаются графом, эквивалентным одному, в котором части соединяются путем объединения узла из каждой в один узел. Точно так же граф, который можно разделить на две отдельные части, разделив узел пополам, также считается эквивалентным.^[25]

Деревья и ссылки [ править ]

Дерево представляет собой график , в котором соединены все узлы, либо непосредственно , либо косвенно, ветвь, но без образования замкнутых контуров. Поскольку замкнутых контуров нет, в дереве нет токов. В сетевом анализе нас интересуют остовные деревья , то есть деревья, которые соединяют каждый узел, присутствующий в графе сети. В этой статье под остовным деревом понимается неквалифицированное дерево, если не указано иное. Данный сетевой граф может содержать несколько разных деревьев. Ветви, удаленные из графа для образования дерева, называются связями , а оставшиеся в дереве ветки называются ветками . Для графа с n узлами количество ветвей в каждом дереве,т , должно быть;

${\ Displaystyle т = п-1 \}$

Важное соотношение для анализа цепей:

${\ displaystyle b = \ ell + t \}$

где b - количество ветвей в графе, а ℓ - количество ссылок, удаленных для формирования дерева. ^[26]

Наборы галстуков и вырезки [ править ]

Целью анализа цепей является определение всех токов и напряжений ответвлений в сети. Не все эти сетевые переменные независимы. Напряжения ответвлений связаны с токами ответвлений передаточной функцией элементов, из которых они состоят. Таким образом, полное решение сети может быть выражено только в отношении токов или напряжений ответвлений. И не все токи ответвления независимы друг от друга. Минимальное количество токов ответвления, необходимое для полного решения, составляет l . Это следствие того, что дерево имеет lссылки удалены и в дереве не может быть токов. Поскольку остальные ветви дерева имеют нулевой ток, они не могут быть независимыми от токов звена. Токи ветвей, выбранные как набор независимых переменных, должны быть набором, связанным со звеньями дерева: нельзя произвольно выбрать какие-либо l ветвей. ^[27]

Что касается напряжений ответвлений, полное решение сети можно получить с t напряжениями ответвлений. Это следствие того факта, что короткое замыкание всех ветвей дерева приводит к тому, что напряжение везде равно нулю. Следовательно, напряжения звена не могут быть независимыми от напряжений ветвей дерева. ^[28]

Обычный подход к анализу заключается в поиске токов контура, а не токов ответвления. Затем токи ответвления находятся в терминах токов контура. Опять же, набор петлевых токов не может быть выбран произвольно. Чтобы гарантировать набор независимых переменных, токи контура должны соответствовать определенному набору контуров. Этот набор циклов состоит из этих циклов, образованных заменой одного звена данного дерева графа анализируемой схемы. Поскольку замена одного звена в дереве образует ровно одну уникальную петлю, количество определяемых таким образом токов петли равно l . Термин цикл в этом контексте отличается от обычного значения цикла в теории графов. Набор ветвей, образующих данный цикл, называетсянабор галстуков . ^{[примечание 2]} Набор сетевых уравнений формируется путем приравнивания токов контура к алгебраической сумме токов ветвления связующего набора. ^[29]

Можно выбрать набор независимых токов контура без привязки к деревьям и связкам. Достаточным, но не необходимым условием для выбора набора независимых циклов является обеспечение того, чтобы каждый выбранный цикл включал хотя бы одну ветвь, которая ранее не была включена в уже выбранные циклы. Особенно простой выбор - это вариант, используемый при анализе сетки, в котором все петли выбираются как сетки. ^{[примечание 3]} Сеточный анализ может применяться только в том случае, если возможно отобразить график на плоскость или сферу без пересечения каких-либо ветвей. Такие графы называются планарными графами.. Возможность отображения на плоскость или сферу - эквивалентные условия. Любой конечный граф, отображаемый на плоскость, можно сжать до тех пор, пока он не отобразится на небольшой области сферы. И наоборот, сетка любого графа, отображаемого на сферу, может быть растянута до тех пор, пока пространство внутри нее не займет почти всю сферу. В этом случае весь граф занимает лишь небольшую часть сферы. Это то же самое, что и в первом случае, поэтому график также будет отображаться на плоскости. ^[30]

Существует подход к выбору сетевых переменных с напряжениями, который аналогичен и двойственен методу тока контура. Здесь напряжение, связанное с парами узлов, является первичными переменными, и напряжения ответвлений находятся в их терминах. В этом методе также необходимо выбрать конкретное дерево графа, чтобы гарантировать, что все переменные независимы. Двойной набор галстуков - это набор для кроя . Набор связей формируется тем, что все связи графа, кроме одной, могут быть разомкнутыми. Набор для резки формируется путем короткого замыкания всех ветвей, кроме одной. Набор сокращений состоит из ветви дерева, которая не была замкнута накоротко, и любых звеньев, которые не были замкнуты накоротко другими ветвями дерева. Разрезанный набор графа дает два непересекающихсяподграфы , то есть он разрезает граф на две части и представляет собой минимальный набор ветвей, необходимых для этого. Набор сетевых уравнений формируется путем приравнивания напряжений пары узлов к алгебраической сумме напряжений ветвей вырезанного набора. ^[31] Двойным частным случаем анализа сеток является узловой анализ . ^[32]

Аннулирование и ранг [ править ]

Нулевое значение N графа с s отдельными частями и b ветвями определяется как;

${\displaystyle N=b-n+s\ }$

Нулевое значение графа представляет собой количество степеней свободы его набора сетевых уравнений. Для плоского графа нулевое значение равно количеству ячеек в графе. ^[33]

Ранг R графа определяется как;

${\displaystyle R=n-s\ }$

Ранг играет ту же роль в узловом анализе, что и нулевое значение в анализе сетки. То есть он дает количество требуемых уравнений узлового напряжения. Ранг и ничтожность - понятия двойственные и связаны между собой: ^[34]

${\displaystyle R+N=b\ }$

Решение сетевых переменных [ править ]

После выбора набора геометрически независимых переменных состояние сети выражается через них. В результате получается набор независимых линейных уравнений, которые необходимо решать одновременно , чтобы найти значения сетевых переменных. Этот набор уравнений может быть выражен в матричном формате, который приводит к характеристической матрице параметров для сети. Матрицы параметров принимают форму матрицы импеданса, если уравнения были сформированы на основе анализа контура, или в виде матрицы проводимости, если уравнения были сформированы на основе анализа узлов. ^[35]

Эти уравнения можно решить несколькими хорошо известными способами. Один из методов - систематическое исключение переменных . ^[36] Другой метод предполагает использование определителей . Это известно как правило Крамера и обеспечивает прямое выражение неизвестной переменной в терминах определителей. Это полезно тем, что дает компактное выражение для решения. Однако для чего-то большего, чем самые простые сети, этот метод требует больших вычислительных усилий при работе вручную. ^[37]

Двойственность [ править ]

Два графа являются двойственными, когда отношения между ветвями и парами узлов в одном такие же, как отношения между ветвями и циклами в другом. Двойник графа можно полностью найти графическим методом . ^[38]

Двойник графа - это другой граф. Для данного дерева в графе дополнительный набор ветвей (т. Е. Ветвей не в дереве) формирует дерево в двойственном графе. Набор уравнений контура тока, связанных с наборами связей исходного графа и дерева, идентичен набору уравнений пары узлов напряжения, связанных с наборами разрезов двойного графа. ^[39]

В следующей таблице перечислены двойственные концепции топологии, связанные с теорией схем. ^[40]

Двойник дерева иногда называют лабиринтом ^{[примечание 4].} Он состоит из пространств, соединенных связями, так же, как дерево состоит из узлов, соединенных ветвями дерева. ^[41]

Дуалы не могут быть сформированы для каждого графа. Двойственность требует, чтобы каждый набор связей имел набор двойных разрезов в дуальном графе. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда граф отображается на сфере без пересечения ветвей. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что набор связей требуется, чтобы «связать» график на две части, а его двойное, набор разрезов, требуется, чтобы разрезать граф на две части. Для графа конечной сети, которая не будет отображаться на сфере, потребуется n- кратный тор . Связка, проходящая через отверстие в торе, не сможет разделить граф на две части. Следовательно, дуальный граф не будет разрезан на две части и не будет содержать требуемого множества разрезов. Следовательно, только плоские графы имеют двойники. ^[42]

Двойники также не могут быть сформированы для сетей, содержащих взаимные индуктивности, поскольку нет соответствующего емкостного элемента. Могут быть разработаны эквивалентные схемы, у которых есть двойники, но двойники не могут быть сформированы напрямую из взаимной индуктивности. ^[43]

Удаление узлов и сеток [ править ]

Операции над набором сетевых уравнений имеют топологическое значение, которое может помочь визуализировать происходящее. Исключение напряжения узла из набора сетевых уравнений топологически соответствует исключению этого узла из графа. Для узла, подключенного к трем другим узлам, это соответствует хорошо известному преобразованию Y-Δ . Преобразование может быть расширено на большее количество подключенных узлов и тогда известно как преобразование звездообразной сетки . ^[44]

Обратным к этому преобразованию является преобразование Δ-Y, которое аналитически соответствует устранению тока сетки и топологически соответствует устранению сетки. Однако устранение тока сетки, сетка которого имеет общие ветви с произвольным числом других сеток, в общем случае не приведет к реализуемому графу. Это связано с тем, что график преобразования общей звезды - это граф, который не будет отображаться на сфере (он содержит многоугольники звезды и, следовательно, несколько пересечений). Двойник такого графа не может существовать, но это граф, необходимый для представления исключения обобщенной сетки. ^[44]

Взаимная связь [ править ]

В обычном графическом представлении схем нет средств явного представления взаимных индуктивных связей, таких как в трансформаторе , и такие компоненты могут привести к отключенному графу.с более чем одной отдельной частью. Для удобства анализа граф с несколькими частями можно объединить в один граф, объединив по одному узлу в каждой части в один узел. Это не влияет на теоретическое поведение схемы, поэтому проведенный анализ остается в силе. Тем не менее, если бы схема была реализована таким образом, это имело бы практическое значение, поскольку это разрушило бы изоляцию между частями. Примером может служить трансформатор, заземленный как на первичной, так и на вторичной стороне. Трансформатор по-прежнему работает как трансформатор с тем же коэффициентом напряжения, но теперь его нельзя использовать в качестве изолирующего трансформатора . ^[45]

Более современные методы в теории графов могут иметь дело с активными компонентами, что также проблематично в традиционной теории. Эти новые методы также могут иметь дело с взаимными связями. ^[46]

Активные компоненты [ править ]

Существует два основных подхода к работе с взаимными связями и активными компонентами. В первом из них Сэмюэл Джефферсон Мейсон в 1953 году представил графы потока сигналов . ^[47] Графы потоков сигналов являются взвешенными ориентированными графами. Он использовал их для анализа схем, содержащих взаимные связи и активные сети. Вес направленного ребра на этих графиках представляет собой усиление, например, имеющееся у усилителя. В общем, графы потока сигналов, в отличие от описанных выше регулярных ориентированных графов, не соответствуют топологии физического расположения компонентов. ^[46]

Второй подход - расширить классический метод, включив в него взаимные связи и активные компоненты. Для этого было предложено несколько методов. В одном из них построены два графика: один представляет токи в цепи, а другой - напряжения. Пассивные компоненты будут иметь одинаковые ветви в обоих деревьях, а активные компоненты - нет. Метод основан на идентификации остовных деревьев, общих для обоих графов. Альтернативный метод расширения классического подхода, который требует только одного графа, был предложен Ченом в 1965 году. ^{[Примечание 5]} Метод Чена основан на корневом дереве . ^[46]

Гиперграфы [ править ]

Еще один способ расширения классической теории графов для активных компонентов - использование гиперграфов . Некоторые электронные компоненты не представлены в графическом виде. Транзистор имеет три точки подключения, а нормальный график , ветвь может подключаться только к двум узлам. Современные интегральные схемы имеют гораздо больше соединений, чем это. Эту проблему можно решить, используя гиперграфы вместо обычных графов. ^[48]

В традиционном представлении компоненты представлены ребрами, каждое из которых соединяется с двумя узлами. В гиперграфе компоненты представлены гиперребрами, которые могут соединяться с произвольным числом узлов. У гиперребер есть щупальца, которые соединяют гиперребра с узлами. Графическое представление гиперребра может быть прямоугольником (по сравнению с ребром, которое является линией), а изображения его щупалец - линиями от прямоугольника до соединенных узлов. В направленном гиперграфе щупальца несут метки, которые определяются меткой гиперребра. Обычный ориентированный граф можно представить как гиперграф с гиперребрами, каждое из которых имеет по два щупальца. Эти два щупальца обозначены как источник и цель.и обычно обозначается стрелкой. В общем гиперграфе с большим количеством щупалец потребуется более сложная маркировка. ^[49]

Гиперграфы можно охарактеризовать их матрицами инцидентности. Регулярный граф, содержащий только двухконцевые компоненты, будет иметь ровно два ненулевых элемента в каждой строке. Любая матрица инцидентности с более чем двумя ненулевыми элементами в любой строке является представлением гиперграфа. Число ненулевых элементов в строке - это ранг соответствующей ветви, а самый высокий ранг ветви - это ранг матрицы инцидентности. ^[50]

Неоднородные переменные [ править ]

Классический сетевой анализ разрабатывает набор сетевых уравнений, сетевые переменные которых однородны либо по току (анализ петли), либо по напряжению (анализ узлов). Найденный таким образом набор сетевых переменных не обязательно является минимумом, необходимым для формирования набора независимых уравнений. Может быть разница между количеством переменных в циклическом анализе и в анализе узлов. В некоторых случаях минимально возможное число может быть меньше любого из этих значений, если требование однородности ослаблено и допускается сочетание переменных тока и напряжения. Результатом Киши и Катаджини в 1967 году ^{[примечание 6]} является то, что абсолютное минимальное количество переменных, необходимых для описания поведения сети, определяется максимальным расстоянием ^{[примечание 7]} между любыми двумя покрывающими лесами.^{[примечание 8]} сетевого графа. ^[46]

Сетевой синтез [ править ]

Теория графов может быть применена к синтезу сетей . Классический сетевой синтез реализует требуемую сеть в одной из множества канонических форм . Примерами канонических форм являются реализация импеданса движущей точки с помощью канонической лестничной сети Кауэра или канонической формы Фостера, или реализация Брюном иммитанса от его положительно-реальных функций.. С другой стороны, топологические методы не исходят из данной канонической формы. Скорее, форма является результатом математического представления. Некоторые канонические формы требуют для своей реализации взаимной индуктивности. Основная цель топологических методов синтеза сети состоит в том, чтобы устранить необходимость в этих взаимных индуктивностях. Одна теорема, которую следует вывести из топологии, заключается в том, что реализация полного сопротивления точки возбуждения без взаимных связей минимальна тогда и только тогда, когда нет контуров, полностью состоящих из индукторов или конденсаторов. ^[51]

Теория графов наиболее эффективна в синтезе сетей, когда элементы сети могут быть представлены действительными числами (одноэлементные сети, такие как резистивные сети) или двоичными состояниями (например, коммутационные сети). ^[46]

Бесконечные сети [ править ]

Возможно, самой ранней сетью с бесконечным графом, которую нужно было изучить, была лестничная сеть, использовавшаяся для представления линий передачи, разработанная в ее окончательном виде Оливером Хевисайдом в 1881 году. Конечно, все ранние исследования бесконечных сетей ограничивались периодическими структурами, такими как лестницы или сетки с одинаковыми элементами, повторяющимися снова и снова. Инструменты для анализа бесконечных сетей с произвольной топологией стали доступны только в конце 20 века. ^[52]

Бесконечные сети представляют в основном только теоретический интерес и являются игрушкой математиков. Бесконечные сети, не ограниченные реальными ограничениями, могут обладать некоторыми очень нефизическими свойствами. Например, законы Кирхгофа могут не работать в некоторых случаях, и можно определить бесконечные лестницы резисторов, которые имеют импеданс точки возбуждения, который зависит от оконечной нагрузки на бесконечности. Еще одно нефизическое свойство теоретических бесконечных сетей состоит в том, что, как правило, они будут рассеивать бесконечную мощность, если на них не накладываются ограничения в дополнение к обычным сетевым законам, таким как законы Ома и Кирхгофа. Однако есть несколько реальных приложений. Пример линии передачи - одна из класса практических задач, которые можно моделировать бесконечно малыми элементами (модель распределенных элементов). Другими примерами являются запуск волн в сплошной среде, проблемы с окаймляющим полем и измерение сопротивления между точками субстрата или в стволе скважины. ^[53]

Трансфинитные сети еще больше расширяют идею бесконечных сетей. К узлу на конце бесконечной сети может быть подключена еще одна ветвь, ведущая в другую сеть. Эта новая сеть может быть бесконечной. Таким образом, могут быть построены топологии с парами узлов без конечного пути между ними. Такие сети бесконечных сетей называются трансфинитными сетями. ^[54]

Примечания [ править ]

См. Также [ править ]

• Символьный анализ схемы
• Топология сети

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Бриттен, Джеймс Э., Введение в загрузочную катушку: Джордж А. Кэмпбелл и Майкл И. Пупин ", Технология и культура , том 11 , № 1, стр. 36–57, издательство Johns Hopkins University Press, январь 1970 г. DOI : 10.2307 / 3102809 .
• Кэмпбелл, Г. А., "Физическая теория фильтра электрических волн" , Bell System Technical Journal , ноябрь 1922 г., вып. 1, вып. 2. С. 1–32.
• Седербаум, И., "Некоторые приложения теории графов к сетевому анализу и синтезу" , IEEE Transactions on Circuits and Systems , vol.31 , Iss.1, pp. 64–68, январь 1984.
• Фараго, П.С., Введение в линейный сетевой анализ , The English Universities Press Ltd, 1961.
• Фостер, Рональд М., "Геометрические схемы электрических сетей" , Труды Американского института инженеров-электриков , том 51 , выпуск 2, стр. 309–317, июнь 1932 г.
• Фостер, Рональд М .; Кэмпбелл, Джордж А., «Сети с максимальным выходом для телефонных подстанций и ретрансляторов» , Труды Американского института инженеров-электриков , том 39 , выпуск 1, стр. 230–290, январь 1920.
• Гийемин, Эрнст А., Введение в теорию цепей , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1953 OCLC  535111
• Добрый, Дитер; Фезер, Курт, методы испытаний высокого напряжения , переводчик Ю. Нараяна Рао, Newnes, 2001 ISBN 0-7506-5183-0 . 
• Киши, Женя; Каджитани, Йоджи, «Максимально удаленные деревья и главное разбиение линейного графа» , IEEE Transactions on Circuit Theory , vol.16 , Iss.3 , pp. 323–330, август 1969.
• Мак-Магон, Перси А., «Хомуты и составные части в связи с аналитическими формами, называемыми« деревьями »», Труды Лондонского математического общества , том 22 (1891), стр.330–346 doi : 10.1112 / plms / s1-22.1.330 .
• Мак-Магон, Перси А., "Комбинации сопротивлений", The Electrician , том 28 , стр. 601–602, 8 апреля 1892 г.
  Перепечатано в Discrete Applied Mathematics , том 54 , выпуск 2–3, стр. 225 –228, 17 октября 1994 г. DOI : 10.1016 / 0166-218X (94) 90024-8 .
• Минас, М., «Создание семантических представлений диаграмм», Приложения преобразований графов, имеющие промышленное значение: международный семинар, AGTIVE'99, Керкраде, Нидерланды, 1–3 сентября 1999 г .: сборник материалов , стр. 209–224, Springer, 2000 ISBN 3-540-67658-9 . 
• Redifon Radio Diary, 1970 , William Collins Sons & Co, 1969.
• Скиена, Стивен С., Руководство по разработке алгоритмов , Springer, 2008 г., ISBN 1-84800-069-3 . 
• Суреш, Кумар К.С., «Введение в топологию сети», глава 11 в « Электрические цепи и сети» , Pearson Education India, 2010 ISBN 81-317-5511-8 . 
• Тули, Майк, BTEC First Engineering: обязательные и избранные дополнительные блоки для BTEC Firsts in Engineering , Routledge, 2010 ISBN 1-85617-685-1 . 
• Wildes, Karl L .; Линдгрен, Нило А., "Сетевой анализ и синтез: Эрнст А. Гийемен", Век электротехники и компьютерных наук в Массачусетском технологическом институте, 1882–1982 , стр. 154–159, MIT Press, 1985 ISBN 0-262-23119- 0 . 
• Земанян, Армен Х., Бесконечные электрические сети , Cambridge University Press, 1991 ISBN 0-521-40153-4 .