Суммарное кольцо фракций

В абстрактной алгебре , в полном кольце частных , ^[1] или полного кольца фракций , ^[2] представляет собой конструкцию , которая обобщает понятие из области фракций из в области целостности для коммутативных колец R , который может иметь делителей нуля . Эта конструкция вкладывает R в большее кольцо, давая каждому ненулевому делителю R инверсию в большем кольце. Если гомоморфизм из R в новое кольцо должен быть инъективным, никаким другим элементам нельзя дать обратный.

Определение [ править ]

Позвольте быть коммутативным кольцом и позвольте быть набором элементов, которые не являются делителями нуля в ; тогда - мультипликативно замкнутое множество . Следовательно, мы можем локализовать кольцо на множестве, чтобы получить полное фактор-кольцо .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle S ^ {- 1} R = Q (R)}$

Если - область , то и полное кольцо частных совпадает с полем дробей. Это оправдывает обозначение , которое иногда также используется для поля дробей, поскольку в случае домена нет двусмысленности.${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle S = R - \ {0 \}}$${\ Displaystyle Q (R)}$

Поскольку в конструкции нет делителей нуля, естественное отображение инъективно, поэтому полное факторкольцо является расширением .${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle R \ к Q (R)}$${\ displaystyle R}$

Примеры [ править ]

• Для кольца произведения A × B полное фактор-кольцо Q ( A × B ) является произведением полных фактор-колец Q ( A ) × Q ( B ) . В частности, если A и B являются областями целостности, это произведение полей частных.

• Для кольца голоморфных функций на открытом множестве комплексных чисел D полное факторкольцо - это кольцо мероморфных функций на D , даже если D не связно.

• В артиновом кольце все элементы являются единицами или делителями нуля. Следовательно, множество ненулевых делителей - это группа единиц кольца , и так далее . Но так как все эти элементы уже обратимы, .${\ displaystyle R ^ {\ times}}$${\ Displaystyle Q (R) = (R ^ {\ times}) ^ {- 1} R}$${\displaystyle Q(R)=R}$

• В коммутативном регулярном кольце фон Неймана R происходит то же самое. Предположим, что a в R не является делителем нуля. Тогда в регулярном кольце фон Неймана a  =  axa для некоторого x в R , что дает уравнение a ( xa  - 1) = 0. Поскольку a не является делителем нуля, xa  = 1, показывая, что a является единицей. Здесь снова .${\displaystyle Q(R)=R}$

• В алгебраической геометрии рассматривается пучок полных фактор-колец на схеме , и это может быть использовано, чтобы дать одно возможное определение дивизора Картье .

Суммарное кольцо дробей редуцированного кольца [ править ]

Важный факт:

Доказательство. Каждый элемент Q ( A ) является единицей или нулевым делителем. Таким образом, любой собственный идеал I в Q ( A ) должен состоять из неделителей. Поскольку множество делителей нуля в Q ( A ) является объединением минимальных простых идеалов как Q ( A ) является сокращением , с помощью простого избегания , я должен содержаться в некоторых . Следовательно, идеалы - это максимальные идеалы Q ( A ), пересечение которых равно нулю. Таким образом, согласно китайской теореме об остатках, примененной к${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$Q ( A ) имеем:

${\displaystyle Q(A)\simeq \prod _{i}Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$.

И, наконец, это поле вычетов из . Действительно, записывая S для мультипликативно замкнутого множества ненулевых делителей в силу точности локализации,${\displaystyle Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

${\displaystyle Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)=A[S^{-1}]/{\mathfrak {p}}_{i}A[S^{-1}]=(A/{\mathfrak {p}}_{i})[S^{-1}]}$,

который уже является полем, и так должно быть .${\displaystyle Q(A/{\mathfrak {p}}_{i})}$${\displaystyle \square }$

Обобщение [ править ]

Если это коммутативное кольцо и любое мультипликативно замкнутое множество в , локализация все еще может быть построена, но гомоморфизм колец от до может не быть инъективным. Например, если , то - тривиальное кольцо.${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle 0\in S}$${\displaystyle S^{-1}R}$

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Мацумура, Хидеюки (1980), Коммутативная алгебра
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец