| Кристаллическая система | Тригональный | Шестиугольный | |
|---|---|---|---|
| Решетчатая система |  Ромбоэдрический |  Шестиугольный | |
| Пример |  Доломит |  α- Кварц |  Берил |
В кристаллографии семейство гексагональных кристаллов является одним из шести семейств кристаллов , которое включает две кристаллические системы (гексагональную и тригональную ) и две системы решеток (гексагональную и ромбоэдрическую ). Хотя их часто путают, тригональная кристаллическая система и система ромбоэдрической решетки не эквивалентны (см. Раздел « Кристаллические системы» ниже). [1] В частности, есть кристаллы с тригональной симметрией, но принадлежащие к гексагональной решетке (например, α- кварц ).
Семейство гексагональных кристаллов состоит из 12 точечных групп, так что по крайней мере одна из их пространственных групп имеет гексагональную решетку в качестве основной решетки и представляет собой объединение гексагональной кристаллической системы и тригональной кристаллической системы. [2] С ним связаны 52 пространственные группы, и это в точности те, чья решетка Браве является либо гексагональной, либо ромбоэдрической.
Решетчатые системы [ править ]
Семейство гексагональных кристаллов состоит из двух систем решеток : гексагональной и ромбоэдрической. Каждая решетчатая система состоит из одной решетки Браве.
| Решетка Браве | Шестиугольный | Ромбоэдрический |
|---|---|---|
| Символ Пирсона | л.с. | час |
| Шестиугольная элементарная ячейка |  |  |
| Ромбоэдрическая элементарная ячейка |  | |
В гексагональном семействе кристалл условно описывается элементарной ячейкой с правой ромбической призмой с двумя равными осями ( a и a ), включенным углом 120 ° ( γ ) и высотой ( c , которая может отличаться от a ), перпендикулярной к двум базовым осям.
Гексагональная элементарная ячейка для ромбоэдрической решетки Бравэ представляет собой R-центрированную ячейку, состоящую из двух дополнительных узлов решетки, которые занимают одну диагональ тела элементарной ячейки. Это можно сделать двумя способами, которые можно рассматривать как две нотации, представляющие одну и ту же структуру. В обычной так называемой фронтальной установке дополнительные точки решетки находятся в координатах ( 2 ⁄ 3 , 1 ⁄ 3 , 1 ⁄ 3 ) и ( 1 ⁄ 3 , 2 ⁄ 3 , 2 ⁄ 3 ), тогда как в альтернативной обратной установке они находятся в координатах ( 1 ⁄ 3, 2 ⁄ 3 , 1 ⁄ 3 ) и ( 2 ⁄ 3 , 1 ⁄ 3 , 2 ⁄ 3 ). [3] В любом случае всего на элементарную ячейку приходится 3 точки решетки, и решетка не является примитивной.
Решетки Браве в семействе гексагональных кристаллов также можно описать ромбоэдрическими осями. [4] [5] Элементарная ячейка представляет собой ромбоэдр (отсюда и название ромбоэдрической решетки). Это элементарная ячейка с параметрами a = b = c ; α = β = γ ≠ 90 °. [6] На практике чаще используется гексагональное описание, потому что легче иметь дело с системой координат с двумя углами 90 °. Однако ромбоэдрические оси (для ромбоэдрической решетки) часто указываются в учебниках, потому что эта ячейка обнаруживает 3- метровую симметрию кристаллической решетки.
Ромбоэдрическая элементарная ячейка для гексагональной решетки Бравы является D-центрированным [7] клетки, состоящая из двух дополнительных точек решетки , которые занимают один диагональ элементарной ячейки с координатами ( 1 / 3 , 1 / 3 , 1 / 3 ) и ( 2 ⁄ 3 , 2 ⁄ 3 , 2 ⁄ 3 ). Однако такое описание используется редко.
Кристаллические системы [ править ]
| Кристаллическая система | Требуемые симметрии точечной группы | Группы точек | Космические группы | Решетки Браве | Решетчатая система |
|---|---|---|---|---|---|
| Тригональный | 1 тройная ось вращения | 5 | 7 | 1 | Ромбоэдрический |
| 18 | 1 | Шестиугольный | |||
| Шестиугольный | 1 шестикратная ось вращения | 7 | 27 |
Семейство гексагональных кристаллов состоит из двух кристаллических систем : тригональной и гексагональной. Кристаллическая система - это набор точечных групп, в которых сами точечные группы и соответствующие им пространственные группы назначены системе решеток (см. Таблицу в Crystal system # Crystal classes ).
Тригональная кристаллическая система состоит из 5 точечных групп, которые имеют одну тройную ось вращения, которая включает пространственные группы с 143 по 167. Эти 5 точечных групп имеют 7 соответствующих пространственных групп (обозначенных R), присвоенных системе ромбоэдрической решетки, и 18 соответствующие пространственные группы (обозначенные P), относящиеся к системе гексагональной решетки. Следовательно, тригональная кристаллическая система - единственная кристаллическая система, точечные группы которой имеют более одной системы решеток, связанных с их пространственными группами.
Гексагональная кристаллическая система состоит из 7 точечных групп, которые имеют одну шестикратную ось вращения. Эти 7 точечных групп имеют 27 пространственных групп (от 168 до 194), все из которых относятся к системе гексагональной решетки.
Тригональная кристаллическая система [ править ]
5 точечных групп в этой кристаллической системе перечислены ниже с их международным номером и обозначениями, их пространственными группами в названии и примерами кристаллов. [8] [9] [10]
| Космическая группа № | Группа точек | Тип | Примеры | Космические группы | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Имя [11] | Intl | Schoen. | Сфера. | Кокс. | Шестиугольный | Ромбоэдрический | |||
| 143–146 | Тригонально-пирамидальный | 3 | C 3 | 33 | [3] + | энантиоморфный полярный | карлинит , ярозит | P3, P3 1 , P3 2 | R3 |
| 147–148 | Ромбоэдрический | 3 | C 3i (S 6 ) | 3 × | [2 + , 6 + ] | центросимметричный | доломит, ильменит | P 3 | R 3 |
| 149–155 | Трехгранный трапециевидный | 32 | D3 | 223 | [2,3]+ | enantiomorphic | abhurite, alpha-quartz (152, 154), cinnabar | P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221 | R32 |
| 156–161 | Ditrigonal pyramidal | 3m | C3v | *33 | [3] | polar | schorl, cerite, tourmaline, alunite, lithium tantalate | P3m1, P31m, P3c1, P31c | R3m, R3c |
| 162–167 | Ditrigonal scalenohedral | 3m | D3d | 2*3 | [2+,6] | centrosymmetric | antimony, hematite, corundum, calcite, bismuth | P31m, P31c, P3m1, P3c1 | R3m, R3c |
Hexagonal crystal system[edit]
The 7 point groups (crystal classes) in this crystal system are listed below, followed by their representations in Hermann–Mauguin or international notation and Schoenflies notation, and mineral examples, if they exist.[2][12]
| Space group no. | Point group | Type | Examples | Space groups | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Name[11] | Intl | Schoen. | Orb. | Cox. | ||||
| 168–173 | Hexagonal pyramidal | 6 | C6 | 66 | [6]+ | enantiomorphic polar | nepheline, cancrinite | P6, P61, P65, P62, P64, P63 |
| 174 | Trigonal dipyramidal | 6 | C3h | 3* | [2,3+] | laurelite and boric acid | P6 | |
| 175–176 | Hexagonal dipyramidal | 6/m | C6h | 6* | [2,6+] | centrosymmetric | apatite, vanadinite | P6/m, P63/m |
| 177–182 | Hexagonal trapezohedral | 622 | D6 | 226 | [2,6]+ | enantiomorphic | kalsilite and high quartz | P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322 |
| 183–186 | Dihexagonal pyramidal | 6mm | C6v | *66 | [6] | polar | greenockite, wurtzite[13] | P6mm, P6cc, P63cm, P63mc |
| 187–190 | Ditrigonal dipyramidal | 6m2 | D3h | *223 | [2,3] | benitoite | P6m2, P6c2, P62m, P62c | |
| 191–194 | Dihexagonal dipyramidal | 6/mmm | D6h | *226 | [2,6] | centrosymmetric | beryl | P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc |
Hexagonal close packed[edit]
Hexagonal close packed (hcp) is one of the two simple types of atomic packing with the highest density, the other being the face centered cubic (fcc). However, unlike the fcc, it is not a Bravais lattice as there are two nonequivalent sets of lattice points. Instead, it can be constructed from the hexagonal Bravais lattice by using a two atom motif (the additional atom at about (2⁄3,1⁄3,1⁄2)) associated with each lattice point.[14]
In two dimensions[edit]
There is only one hexagonal Bravais lattice in two dimensions: the hexagonal lattice.
| Bravais lattice | Hexagonal |
|---|---|
| Pearson symbol | hp |
| Unit cell |
See also[edit]
- Crystal structure
- Wurtzite (crystal structure)
References[edit]
- ^ Hahn (2002)
- ^ a b Dana, James Dwight; Hurlbut, Cornelius Searle (1959). Dana's Manual of Mineralogy (17th ed.). New York: Chapman Hall. pp. 78–89.
- ^ Edward Prince (2004). Mathematical Techniques in Crystallography and Materials Science. Springer Science & Business Media. p. 41.
- ^ "Page not found - QuantumWise". quantumwise.com. Cite uses generic title (help)
- ^ "Medium-Resolution Space Group Diagrams and Tables". img.chem.ucl.ac.uk.
- ^ Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Solid State Physics (1st ed.). p. 119. ISBN 0-03-083993-9.
- ^ Hahn (2002), p. 73
- ^ Pough, Frederick H.; Peterson, Roger Tory (1998). A Field Guide to Rocks and Minerals. Houghton Mifflin Harcourt. p. 62. ISBN 0-395-91096-X.
- ^ Hurlbut, Cornelius S.; Klein, Cornelis (1985). Manual of Mineralogy (20th ed.). pp. 78–89. ISBN 0-471-80580-7.
- ^ "Crystallography and Minerals Arranged by Crystal Form". Webmineral.
- ^ a b Hahn (2002), p. 794
- ^ "Crystallography". Webmineral.com. Retrieved 2014-08-03.
- ^ "Minerals in the Hexagonal crystal system, Dihexagonal Pyramidal class (6mm)". Mindat.org. Retrieved 2014-08-03.
- ^ Jaswon, Maurice Aaron (1965-01-01). An introduction to mathematical crystallography. American Elsevier Pub. Co.
Further reading[edit]
- Hahn, Theo, ed. (2002). International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry. International Tables for Crystallography. A (5th ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1107/97809553602060000100. ISBN 978-0-7923-6590-7.
External links[edit]
- Media related to Hexagonal lattices at Wikimedia Commons
- Mineralogy database
