Тропическая геометрия

Тропическая кубическая кривая

В математике , тропическая геометрия является изучением многочленов и их геометрических свойств , когда добавление заменяется минимизацией и умножение заменяется обычным сложением:

x\oplus y=\min\{x,y\},

x\otimes y=x+y.

Так, например, классический полином стал бы . Такие многочлены и их решения имеют важные приложения в задачах оптимизации, например в задаче оптимизации времени отправления для сети поездов. $x^{3}+2xy+y^{4}$ $\min\{x+x+x,\;2+x+y,\;y+y+y+y\}$

Тропическая геометрия - это вариант алгебраической геометрии, в которой полиномиальные графы напоминают кусочно-линейные сетки, а числа принадлежат тропическому полукольцу, а не полю. Поскольку классическая и тропическая геометрия тесно связаны, результаты и методы могут быть преобразованы между ними. Алгебраические многообразия можно сопоставить с тропическими аналогами, и, поскольку этот процесс все еще сохраняет некоторую геометрическую информацию об исходном многообразии, его можно использовать для доказательства и обобщения классических результатов алгебраической геометрии, таких как теорема Брилла – Нётер , с помощью инструментов тропической геометрии. ^[1]

История [ править ]

Основные идеи тропического анализа были независимо развиты в одних и тех же обозначениях математиками, работающими в различных областях. ^[2] Ведущие идеи тропической геометрии в различных формах проявились в более ранних работах. Например, Виктор Павлович Маслов представил тропический вариант процесса интеграции. Он также заметил, что преобразование Лежандра и решения уравнения Гамильтона – Якоби являются линейными операциями в тропическом смысле. ^[3] Однако только с конца 1990-х годов была предпринята попытка консолидировать основные определения теории. Это было мотивировано приложениями к перечислительной алгебраической геометрии с идеями изМаксим Концевич ^[4] и работы Григория Михалкина ^[5] среди других.

Прилагательное « тропический» в названии области было придумано французскими математиками в честь бразильского ученого-информатика Имре Симона , родившегося в Венгрии , который писал на местах. Жан-Эрик Pin приписывает чеканку к Dominique Perrin , ^[6] , тогда как Саймон сам приписывает слово христианской Choffrut. ^[7]

Фон алгебры [ править ]

Тропическая геометрия основана на тропическом полукольце . Это определяется двумя способами, в зависимости от соглашения о максимальном или минимальном значении.

Мин тропическое полукольцо является полукольцо , с операциями: $(\mathbb {R} \cup \{+\infty \},\oplus ,\otimes )$

x\oplus y=\min\{x,y\},

x\otimes y=x+y.

Операции и называются тропическим сложением и тропическим умножением соответственно. Элемент идентичности для равен , а элемент идентичности для равен 0. $\oplus$ $\otimes$ $\oplus$ $+\infty$ $\otimes$

Точно так же максимальное тропическое полукольцо - это полукольцо с операциями: $(\mathbb {R} \cup \{-\infty \},\oplus ,\otimes )$

x\oplus y=\max\{x,y\},

x\otimes y=x+y.

Нейтральный элемент для is , а нейтральный элемент для 0. $\oplus$ $-\infty$ $\otimes$

Эти полукольца изоморфны при отрицании , и обычно одно из них выбирается и называется просто тропическим полукольцом . Соглашения различаются между авторами и подполями: некоторые используют соглашение min , некоторые используют соглашение max . $x\mapsto -x$

Операции с тропическим полукольцом моделируют поведение оценок при сложении и умножении в значном поле .

Некоторые общие оценочные поля, встречающиеся в тропической геометрии (с соглашением min):

$\mathbb {Q}$ или с тривиальной оценкой для всех . $\mathbb {C}$ $v(a)=0$ $a\neq 0$
$\mathbb {Q}$ или ее расширение с р-адической оценкой , для и б копервичного к р . $v_{p}(p^{n}a/b)=n$
Поле ряда Лорана (целые степени) или поле (комплексного) ряда Пюизо , с оценкой, возвращающей наименьший показатель t, появляющийся в ряду. $\mathbb {C} (\!(t)\!)$ $\mathbb {C} \{\!\{t\}\!\}$

Тропические многочлены [ править ]

Тропический многочлен является функцией , которая может быть выражена в виде тропической суммы конечного числа мономиальных терминов . Мономиальный член - это тропическое произведение (и / или частное) константы и переменных из . Таким образом, тропический многочлен F является минимумом конечного набора аффинно-линейных функций, в которых переменные имеют целые коэффициенты, поэтому он является вогнутым , непрерывным и кусочно-линейным . ^[8] $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $X_{1},\ldots ,X_{n}$

{\begin{aligned}F(X_{1},\ldots ,X_{n})&=\left(C_{1}\otimes X_{1}^{\otimes a_{11}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{n1}}\right)\oplus \cdots \oplus \left(C_{s}\otimes X_{1}^{\otimes a_{1s}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{ns}}\right)\\&=\min\{C_{1}+a_{11}X_{1}+\cdots +a_{n1}X_{n},\;\ldots ,\;C_{s}+a_{1s}X_{1}+\cdots +a_{ns}X_{n}\}.\end{aligned}}

Принимая во внимание многочлен п в кольце многочленов Лорана , где K представляет собой нормированное поле, то тропикализация из F , обозначается , тропический многочлен получается из F заменой операции умножения и сложения их тропических аналогов и каждой постоянной в K по ее оценке. То есть, если $K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]$ $\operatorname {Trop} (f)$

f=\sum _{i=1}^{s}c_{i}x^{A_{i}}\quad {\text{ with }}A_{1},\ldots ,A_{s}\in \mathbb {Z} ^{n},

тогда

\operatorname {Trop} (f)=\bigoplus _{i=1}^{s}v(c_{i})\otimes X^{\otimes A_{i}}.

Множество точек, в которых тропический многочлен F недифференцируем , называется ассоциированной с ним тропической гиперповерхностью и обозначается (аналогично исчезающему множеству многочлена). Эквивалентно, это набор точек, где минимум среди членов F достигается как минимум дважды. Что касается полинома Лорана f , эта последняя характеристика отражает тот факт, что при любом решении минимальная оценка членов f должна быть достигнута, по крайней мере, дважды, чтобы все они уравнялись. ^[9] $\mathrm {V} (F)$ $\mathrm {V} (F)$ $F=\operatorname {Trop} (f)$ $\mathrm {V} (F)$ $f=0$

Тропические сорта [ править ]

Определения [ править ]

Для X алгебраического многообразия в алгебраическом торе , то тропическое многообразие из X или тропикализация из X , обозначается , является подмножество , что может быть определенно несколько способов. Эквивалентность этих определений называется фундаментальной теоремой тропической геометрии . ^[9] $(K^{\times })^{n}$ $\operatorname {Trop} (X)$ $\mathbb {R} ^{n}$

Пересечение тропических гиперповерхностей [ править ]

Пусть - идеал многочленов Лорана, обращающихся в нуль на X в . Определять $\mathrm {I} (X)$ $K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]$

\operatorname {Trop} (X)=\bigcap _{f\in \mathrm {I} (X)}\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))\subseteq \mathbb {R} ^{n}.

Когда X - гиперповерхность, его исчезающий идеал - это главный идеал, порожденный многочленом Лорана f , а тропическое многообразие - это в точности тропическая гиперповерхность . $\mathrm {I} (X)$ $\operatorname {Trop} (X)$ $\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))$

Каждое тропическое многообразие является пересечением конечного числа тропических гиперповерхностей. Конечное множество полиномов называется тропической основой для X , если есть пересечение тропических гиперповерхности . В общем, для создания тропического базиса одного порождающего набора недостаточно. Пересечение конечного числа тропических гиперповерхностей называется тропическим предмногообразием и, вообще говоря, тропическим многообразием не является. ^[9] $\{f_{1},\ldots ,f_{r}\}\subseteq \mathrm {I} (X)$ $\operatorname {Trop} (X)$ $\operatorname {Trop} (f_{1}),\ldots ,\operatorname {Trop} (f_{r})$ $\mathrm {I} (X)$

Первоначальные идеалы [ править ]

Выбор вектора в определяет отображение мономиальных членов в путем отправки члена m в . Для полинома Лорана , определить начальную форму в е быть суммой членов из F , для которых минимально. Для идеала определите его начальный идеал относительно быть $\mathbf {w}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]$ $\mathbb {R}$ $\operatorname {Trop} (m)(\mathbf {w} )$ $f=m_{1}+\cdots +m_{s}$ $m_{i}$ $\operatorname {Trop} (m_{i})(\mathbf {w} )$ $\mathrm {I} (X)$ $\mathbf {w}$

\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)=(\operatorname {in} _{\mathbf {w} }(f):f\in \mathrm {I} (X)).

Затем определите

\operatorname {Trop} (X)=\{\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n}:\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)\neq (1)\}.

Поскольку мы работаем в кольце Лорана, это то же самое, что и набор весовых векторов, для которых не содержится одночлен. $\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)$

Когда K имеет тривиальную оценку, это в точности начальный идеал относительно мономиального порядка, заданного вектором весов . Отсюда следует , что это subfan из вентилятора Гребнера из . $\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)$ $\mathrm {I} (X)$ $\mathbf {w}$ $\operatorname {Trop} (X)$ $\mathrm {I} (X)$

Изображение карты оценки [ править ]

Предположим, что X - многообразие над полем K с оценкой v , образ которого плотен в (например, поле ряда Пюизо). Действуя покоординатно, v определяет отображение алгебраического тора в . Затем определите $\mathbb {R}$ $(K^{\times })^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

\operatorname {Trop} (X)={\overline {\{(v(x_{1}),\ldots ,v(x_{n})):(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X\}}},

где верхняя черта указывает на замыкание в евклидовой топологии . Если оценка K не является плотной , то приведенное выше определение может быть адаптировано путем расширения скаляров на большее поле, которое действительно имеет плотную оценку. $\mathbb {R}$

Это определение показывает , что является неархимедов амебы над алгебраически замкнутым неархимедовомом поля K . ^[10] $\operatorname {Trop} (X)$

Если X - это разнообразие , его можно рассматривать как ограничивающий объект амебы, поскольку основание t логарифмической карты стремится к бесконечности. ^[11] $\mathbb {C}$ $\operatorname {Trop} (X)$ $\operatorname {Log} _{t}(X)$

Многогранный комплекс [ править ]

Следующая характеристика описывает тропические многообразия по существу без ссылки на алгебраические многообразия и тропикализацию. Множество V in является неприводимым тропическим многообразием, если оно является носителем взвешенного полиэдрального комплекса чистой размерности d , удовлетворяющего условию нулевого натяжения и связного в коразмерности один. Когда d равно единице, условие нулевого натяжения означает, что вокруг каждой вершины взвешенная сумма выходных направлений ребер равна нулю. Для более высокого измерения суммы берутся вместо каждой ячейки измерения после выделения аффинного диапазона ячейки. ^[8] Свойство V $\mathbb {R} ^{n}$ $d-1$ соединен в коразмерности один означает, что для любых двух точек, лежащих на ячейках размерности d , существует путь, соединяющий их, который не проходит через какие-либо ячейки размерности меньше . ^[12] $d-1$

Тропические кривые [ править ]

Изучение тропических кривых (тропических многообразий размерности один) особенно хорошо развито и тесно связано с теорией графов . Например, теория делителей тропических кривых связана с играми по выбиванию фишек на графах, связанных с тропическими кривыми. ^[13]

Многие классические теоремы алгебраической геометрии имеют аналоги в тропической геометрии, в том числе:

Теорема Паппа о шестиугольнике . ^[14]
Теорема Безу .
Формула степень-род .
Теорема Римана – Роха . ^[15]
Группа закон кубиков . ^[16]

Олег Виро использовал тропические кривые для классификации реальных кривых степени 7 на плоскости с точностью до изотопии . Его метод лоскутного шитья дает процедуру построения реальной кривой данного изотопического класса по его тропической кривой.

Приложения [ править ]

Тропическая линия появилась в дизайне аукционов Пола Клемперера, который использовался Банком Англии во время финансового кризиса 2007 года. ^[17] Ёсинори Сиозава определил субтропическую алгебру как максимальное время или минимальное время полукольцо (вместо max-plus и min -плюс). Он обнаружил, что теорию рикардианской торговли (международная торговля без торговли ресурсами) можно интерпретировать как субтропическую выпуклую алгебру. ^[18]

Более того, несколько задач оптимизации, возникающих, например, при планировании заданий, анализе местоположения, транспортных сетях, принятии решений и динамических системах с дискретными событиями, могут быть сформулированы и решены в рамках тропической геометрии. ^[19] Тропический аналог карты Абеля – Якоби можно применить к дизайну кристаллов. ^[20] Веса в взвешенном преобразователе с конечным числом состояний часто требуется, чтобы это было тропическое полукольцо. Тропическая геометрия может демонстрировать самоорганизованную критичность . ^[21]

См. Также [ править ]

Тропический анализ
Тропическая компактификация

Заметки [ править ]

^ Хартнетт, Кевин. «Модели Тинкертой создают новые геометрические идеи» . Журнал Quanta . Проверено 12 декабря 2018 .
^ См Cuninghame-зеленый, Raymond A. (1979). Минимаксная алгебра . Конспект лекций по экономике и математическим наукам . 166 . Springer. ISBN 978-3-540-09113-4 и ссылки в нем.
↑ Маслов, Виктор (1987). «О новом принципе суперпозиции для задач оптимизации». Российские математические обзоры . 42: 3 (3): 43–54. Bibcode : 1987RuMaS..42 ... 43M . DOI : 10.1070 / RM1987v042n03ABEH001439 .
↑ Концевич, Максим ; Сойбельман, Ян (7 ноября 2000 г.). «Гомологическая зеркальная симметрия и расслоения на тор». arXiv : math / 0011041 .
↑ Михалкин, Григорий (2005). "Перечислительная тропическая алгебраическая геометрия в R 2 " (PDF) . Журнал Американского математического общества . 18 (2): 313–377. arXiv : математика / 0312530 . DOI : 10.1090 / S0894-0347-05-00477-7 .
^ Пин, Жан-Эрик (1998). «Тропические полукольца» (PDF) . В Гунавардена, Дж. (Ред.). Идемпотентность . Публикации института Ньютона. 11 . Издательство Кембриджского университета . С. 50–69. DOI : 10.1017 / CBO9780511662508.004 . ISBN 9780511662508.
^ Саймон, Имре (1988). «Узнаваемые множества с кратностями в тропическом полукольце». Математические основы компьютерных наук 1988 . Конспект лекций по информатике . 324 . С. 107–120. DOI : 10.1007 / BFb0017135 . ISBN 978-3-540-50110-7.
^ а б Шпейер, Дэвид; Штурмфельса, Бернд (2009), "тропическая математика" (PDF) , математика Журнал , 82 (3): 163-173, DOI : 10,1080 / 0025570X.2009.11953615
^ a b c Маклаган, Дайан ; Штурмфельс, Бернд (2015). Введение в тропическую геометрию . Американское математическое общество . ISBN 9780821851982.
↑ Михалкин, Григорий (2004). «Амебы алгебраических многообразий и тропическая геометрия». В Дональдсоне, Саймон ; Элиашберг, Яков ; Громов, Михаил (ред.). Различные грани геометрии . Международная математическая серия. 3 . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Kluwer Academic / Plenum Publishers. С. 257–300. ISBN 978-0-306-48657-9. Zbl 1072.14013 .
^ Кац, Эрик (2017), «Что такое тропическая геометрия?» (PDF) , Уведомление о Американских математическом обществе , 64 (4): 380-382, DOI : 10,1090 / noti1507
^ Картрайт, Дастин; Пейн, Сэм (2012), «Связность тропиков», Mathematical Research Letters , 19 (5): 1089–1095, arXiv : 1204.6589 , Bibcode : 2012arXiv1204.6589C , doi : 10.4310 / MRL.2012.v19.n5.a10
^ Hladký, Ян; Кралу, Даниэль; Норин, Сергей (1 сентября 2013 г.). «Ранг дивизоров на тропических кривых». Журнал комбинаторной теории, Серия А . 120 (7): 1521–1538. arXiv : 0709.4485 . DOI : 10.1016 / j.jcta.2013.05.002 . ISSN 0097-3165 .
^ Tabera, Луис Фелипе (1 января 2005). «Тропическая конструктивная теорема Паппа». Уведомления о международных математических исследованиях . 2005 (39): 2373–2389. arXiv : math / 0409126 . DOI : 10.1155 / IMRN.2005.2373 . ISSN 1073-7928 .
^ Кербер, Майкл; Гатманн, Андреас (1 мая 2008 г.). «Теорема Римана – Роха в тропической геометрии». Mathematische Zeitschrift . 259 (1): 217–230. arXiv : математика / 0612129 . DOI : 10.1007 / s00209-007-0222-4 . ISSN 1432-1823 .
^ Чан, Мелодия ; Штурмфельс, Бернд (2013). «Эллиптические кривые в виде сот». В Brugallé, Erwan (ред.). Алгебраические и комбинаторные аспекты тропической геометрии. Материалы , основанные на CIEM семинаре по тропической геометрии, Международный центр математического Meetings (CIEM), Кастро Урдиалес, Испания, 12-16 декабря, 2011 . Современная математика. 589 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 87–107. arXiv : 1203.2356 . Bibcode : 2012arXiv1203.2356C . ISBN 978-0-8218-9146-9. Zbl 1312.14142 .
^ «Как геометрия пришла на помощь во время банковского кризиса» . Департамент экономики Оксфордского университета . Проверено 24 марта 2014 года .
^ Сиодзава, Yoshinori (2015). «Теория международной торговли и экзотические алгебры» . Обзор эволюционной и институциональной экономики . 12 : 177–212. DOI : 10.1007 / s40844-015-0012-3 .Это дайджест чернового доклада Ю. Шиодзавы " Субтропическая выпуклая геометрия как рикардианская теория международной торговли ".
^ Кривулин, Николай (2014). «Задачи тропической оптимизации». В Леоне А. Петросяне; Дэвид В.К. Йунг; Иосиф В. Романовский (ред.). Успехи экономики и оптимизации: Сборник научных трудов, посвященных памяти Л. В. Канторовича . Нью-Йорк: Издательство Nova Science. С. 195–214. arXiv : 1408.0313 . ISBN 978-1-63117-073-7.
^ Сунады, Т. (2012). Топологическая кристаллография: с точки зрения дискретного геометрического анализа . Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам. 6 . Springer Japan. ISBN 9784431541769.
^ Калинин, Н .; Guzmán-Sáenz, A .; Prieto, Y .; Школьников, М .; Калинина, В .; Луперсио, Э. (15 августа 2018 г.). «Самоорганизованная критичность и возникновение закономерностей через призму тропической геометрии» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 115 (35): E8135 – E8142. arXiv : 1806.09153 . Bibcode : 2018arXiv180609153K . DOI : 10.1073 / pnas.1805847115 . ISSN 0027-8424 . PMC 6126730 . PMID 30111541 .

Ссылки [ править ]

Маслов, Виктор (1986). «Новый принцип суперпозиции для задач оптимизации», Séminaire sur les Équations aux Dérivées Partielles 1985/6, Centre de Mathématiques de l'École Polytechnique, Palaiseau, разоблачение 24.
Маслов, Виктор (1987). "Méthodes Opératorielles". Москва, Мир, 707 с. (См. Главу 8, Théorie linéaire sur semi moduli, стр. 652–701).
Богарт, Тристрам; Дженсен, Андерс; Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд ; Томас, Рекха (2005). «Вычисление тропических сортов». Журнал символических вычислений . 42 (1–2): 54–73. arXiv : math / 0507563 . Bibcode : 2005math ...... 7563B . DOI : 10.1016 / j.jsc.2006.02.004 .
Эйнзидлер, Манфред; Капранов Михаил; Линд, Дуглас (2006). «Неархимедовы амебы и тропические разновидности». J. Reine Angew. Математика . 601 : 139–157. arXiv : math / 0408311 . Bibcode : 2004math ...... 8311E .
Гатманн, Андреас (2006). «Тропическая алгебраическая геометрия». arXiv : math / 0601322v1 .
Гросс, Марк (2010). Тропическая геометрия и зеркальная симметрия . Провиденс, Род-Айленд: Опубликовано для Совета по математическим наукам Американским математическим обществом при поддержке Национального научного фонда. ISBN 9780821852323.
Итенберг, Илья; Григорий Михалкин; Евгений Шустин (2009). Тропическая алгебраическая геометрия (2-е изд.). Базель: Birkhäuser Basel. ISBN 9783034600484. Zbl 1165.14002 .
Маклаган, Дайан; Штурмфельс, Бернд (2015). Введение в тропическую геометрию . American Mathematical Soc. ISBN 9780821851982.
Михалкин, Григорий (2006). «Тропическая геометрия и ее приложения». arXiv : math / 0601041v2 .
Михалкин, Григорий (2004). «Перечислительная тропическая алгебраическая геометрия в R2». arXiv : math / 0312530v4 .
Михалкин, Григорий (2004). «Амебы алгебраических многообразий и тропическая геометрия». arXiv : math / 0403015v1 .
Пахтер, Лиор ; Штурмфельс, Бернд (2004). «Тропическая геометрия статистических моделей» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 101 (46): 16132–16137. arXiv : q-bio / 0311009 . Bibcode : 2004PNAS..10116132P . DOI : 10.1073 / pnas.0406010101 . PMC 528960 . PMID 15534224 . Zbl 1135.62302 .
Шпейер, Дэвид Э. (2003). «Тропический грассманиан». arXiv : math / 0304218v3 .
Шпейер, Дэвид; Штурмфельс, Бернд (2009) [2004]. «Тропическая математика». Математический журнал . 82 (3): 163–173. arXiv : math / 0408099 . DOI : 10.4169 / 193009809x468760 . Zbl 1227.14051 .
Теобальд, Торстен (2003). «Первые шаги в тропической геометрии». arXiv : math / 0306366v2 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Амини, Омид; Бейкер, Мэтью; Фабер, Ксандер, ред. (2013). Тропическая и неархимедова геометрия. Бэллерс семинар по теории чисел, тропической и неархимедовой геометрия, Бэллерс научно - исследовательский институт, Holetown, Барбадос, США, май 6-13, 2011 . Современная математика. 605 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-1-4704-1021-6. Zbl 1281.14002 .

Внешние ссылки [ править ]

Тропическая геометрия, I

[1] Хартнетт, Кевин. «Модели Тинкертой создают новые геометрические идеи» . Журнал Quanta . Проверено 12 декабря 2018 .

[2] См Cuninghame-зеленый, Raymond A. (1979). Минимаксная алгебра . Конспект лекций по экономике и математическим наукам . 166 . Springer. ISBN 978-3-540-09113-4 и ссылки в нем.

[3] Маслов, Виктор (1987). «О новом принципе суперпозиции для задач оптимизации». Российские математические обзоры . 42: 3 (3): 43–54. Bibcode : 1987RuMaS..42 ... 43M . DOI : 10.1070 / RM1987v042n03ABEH001439 .

[4] Концевич, Максим ; Сойбельман, Ян (7 ноября 2000 г.). «Гомологическая зеркальная симметрия и расслоения на тор». arXiv : math / 0011041 .

[5] Михалкин, Григорий (2005). "Перечислительная тропическая алгебраическая геометрия в R 2 " (PDF) . Журнал Американского математического общества . 18 (2): 313–377. arXiv : математика / 0312530 . DOI : 10.1090 / S0894-0347-05-00477-7 .

[Pin1998-6] Пин, Жан-Эрик (1998). «Тропические полукольца» (PDF) . В Гунавардена, Дж. (Ред.). Идемпотентность . Публикации института Ньютона. 11 . Издательство Кембриджского университета . С. 50–69. DOI : 10.1017 / CBO9780511662508.004 . ISBN 9780511662508.

[Simon1988-7] Саймон, Имре (1988). «Узнаваемые множества с кратностями в тропическом полукольце». Математические основы компьютерных наук 1988 . Конспект лекций по информатике . 324 . С. 107–120. DOI : 10.1007 / BFb0017135 . ISBN 978-3-540-50110-7.

[SpeyerSturmfels2009-8] а б Шпейер, Дэвид; Штурмфельса, Бернд (2009), "тропическая математика" (PDF) , математика Журнал , 82 (3): 163-173, DOI : 10,1080 / 0025570X.2009.11953615

[Maclagan-9] Маклаган, Дайан ; Штурмфельс, Бернд (2015). Введение в тропическую геометрию . Американское математическое общество . ISBN 9780821851982.

[10] Михалкин, Григорий (2004). «Амебы алгебраических многообразий и тропическая геометрия». В Дональдсоне, Саймон ; Элиашберг, Яков ; Громов, Михаил (ред.). Различные грани геометрии . Международная математическая серия. 3 . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Kluwer Academic / Plenum Publishers. С. 257–300. ISBN 978-0-306-48657-9. Zbl 1072.14013 .

[11] Кац, Эрик (2017), «Что такое тропическая геометрия?» (PDF) , Уведомление о Американских математическом обществе , 64 (4): 380-382, DOI : 10,1090 / noti1507

[12] Картрайт, Дастин; Пейн, Сэм (2012), «Связность тропиков», Mathematical Research Letters , 19 (5): 1089–1095, arXiv : 1204.6589 , Bibcode : 2012arXiv1204.6589C , doi : 10.4310 / MRL.2012.v19.n5.a10

[13] Hladký, Ян; Кралу, Даниэль; Норин, Сергей (1 сентября 2013 г.). «Ранг дивизоров на тропических кривых». Журнал комбинаторной теории, Серия А . 120 (7): 1521–1538. arXiv : 0709.4485 . DOI : 10.1016 / j.jcta.2013.05.002 . ISSN 0097-3165 .

[14] Tabera, Луис Фелипе (1 января 2005). «Тропическая конструктивная теорема Паппа». Уведомления о международных математических исследованиях . 2005 (39): 2373–2389. arXiv : math / 0409126 . DOI : 10.1155 / IMRN.2005.2373 . ISSN 1073-7928 .

[15] Кербер, Майкл; Гатманн, Андреас (1 мая 2008 г.). «Теорема Римана – Роха в тропической геометрии». Mathematische Zeitschrift . 259 (1): 217–230. arXiv : математика / 0612129 . DOI : 10.1007 / s00209-007-0222-4 . ISSN 1432-1823 .

[16] Чан, Мелодия ; Штурмфельс, Бернд (2013). «Эллиптические кривые в виде сот». В Brugallé, Erwan (ред.). Алгебраические и комбинаторные аспекты тропической геометрии. Материалы , основанные на CIEM семинаре по тропической геометрии, Международный центр математического Meetings (CIEM), Кастро Урдиалес, Испания, 12-16 декабря, 2011 . Современная математика. 589 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 87–107. arXiv : 1203.2356 . Bibcode : 2012arXiv1203.2356C . ISBN 978-0-8218-9146-9. Zbl 1312.14142 .

[17] «Как геометрия пришла на помощь во время банковского кризиса» . Департамент экономики Оксфордского университета . Проверено 24 марта 2014 года .

[18] Сиодзава, Yoshinori (2015). «Теория международной торговли и экзотические алгебры» . Обзор эволюционной и институциональной экономики . 12 : 177–212. DOI : 10.1007 / s40844-015-0012-3 .Это дайджест чернового доклада Ю. Шиодзавы " Субтропическая выпуклая геометрия как рикардианская теория международной торговли ".

[19] Кривулин, Николай (2014). «Задачи тропической оптимизации». В Леоне А. Петросяне; Дэвид В.К. Йунг; Иосиф В. Романовский (ред.). Успехи экономики и оптимизации: Сборник научных трудов, посвященных памяти Л. В. Канторовича . Нью-Йорк: Издательство Nova Science. С. 195–214. arXiv : 1408.0313 . ISBN 978-1-63117-073-7.

[20] Сунады, Т. (2012). Топологическая кристаллография: с точки зрения дискретного геометрического анализа . Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам. 6 . Springer Japan. ISBN 9784431541769.

[21] Калинин, Н .; Guzmán-Sáenz, A .; Prieto, Y .; Школьников, М .; Калинина, В .; Луперсио, Э. (15 августа 2018 г.). «Самоорганизованная критичность и возникновение закономерностей через призму тропической геометрии» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 115 (35): E8135 – E8142. arXiv : 1806.09153 . Bibcode : 2018arXiv180609153K . DOI : 10.1073 / pnas.1805847115 . ISSN 0027-8424 . PMC 6126730 . PMID 30111541 .

[1]