Парадокс близнецов

В физике парадокс близнецов - это мысленный эксперимент в специальной теории относительности с участием однояйцевых близнецов, один из которых совершает путешествие в космос на высокоскоростной ракете и возвращается домой, чтобы обнаружить, что близнец, оставшийся на Земле, постарел еще больше. Этот результат вызывает недоумение, потому что каждый из близнецов видит другого близнеца как движущегося и, следовательно, как следствие неправильного ^{[1] [2]} и наивного ^{[3] [4]} применения замедления времени и принципа относительности, каждый должен парадоксальным образом обнаружить, что другой постарел меньше. Однако этот сценарий может быть разрешен в рамках стандартной структуры специальной теории относительности: траектория путешествующего близнеца включает в себя две разные инерциальные системы отсчета : одну для исходящего путешествия и одну для прибывающего. ^[5] Другой способ взглянуть на это - понять, что движущийся близнец испытывает ускорение , что делает его неинерциальным наблюдателем. В обоих представлениях нет симметрии между пространственно-временными путями близнецов. Следовательно, парадокс близнецов - это не парадокс в смысле логического противоречия.

Начиная с Поля Ланжевена в 1911 году, этому парадоксу были даны различные объяснения. Эти объяснения «могут быть сгруппированы на те, которые сосредоточены на влиянии различных стандартов одновременности в разных кадрах, и те, которые определяют ускорение [испытываемое путешествующим близнецом] в качестве основной причины». ^[6] Макс фон Лауэ утверждал в 1913 году, что, поскольку путешествующий двойник должен находиться в двух отдельных инерциальных системах отсчета, одна на выходе, а другая на обратном пути, это переключение кадров является причиной разницы в старении. ^[7] Объяснения, выдвинутые Альбертом Эйнштейном и Максом Борном, касались гравитационного замедления времени.объяснять старение как прямой эффект ускорения. ^[8] Однако было доказано, что общая теория относительности, ^{[9] [10] [11] [12] [13]}или даже ускорение, не являются необходимыми для объяснения эффекта, поскольку эффект по-прежнему применим к теоретическому наблюдателю, который может мгновенно изменить направление движения, поддерживая постоянную скорость на всех двух этапах поездки. Такого наблюдателя можно представить как пару наблюдателей, один из которых движется от начальной точки, а другой движется к ней, проходя друг мимо друга там, где должна быть точка поворота. В этот момент показания часов первого наблюдателя передаются второму наблюдателю, оба поддерживают постоянную скорость, а время поездки добавляется в конце их путешествия. ^[14]

История [ править ]

В своей знаменитой статье по специальной теории относительности в 1905 году Альберт Эйнштейн пришел к выводу, что, когда два часа соединяются и синхронизируются, а затем один перемещается и возвращается обратно, часы, которые совершили путешествие, будут отставать от часов, которые остался на месте. ^{[A 1]} Эйнштейн считал это естественным следствием специальной теории относительности, а не парадоксом, как предполагали некоторые, и в 1911 году он переформулировал и развил этот результат следующим образом (с комментариями физика Роберта Резника , следующими за Эйнштейном): ^{[A 2] [15]}

Если бы мы поместили живой организм в ящик ... можно было бы сделать так, чтобы организм после любого произвольного длительного полета мог быть возвращен на исходное место в почти не измененном состоянии, в то время как соответствующие организмы, которые остались на своих исходных положениях, уже успели давно уступили место новым поколениям. Для движущегося организма длительное путешествие было всего лишь мгновением при условии, что движение происходило примерно со скоростью света. Если неподвижным организмом является мужчина, а путешествующим - его близнец, то путешественник возвращается домой и обнаруживает своего брата-близнеца намного старше себя. Парадокс основан на утверждении, что в теории относительности один из близнецов может рассматривать другого как путешественника, и в этом случае каждый должен найти другого моложе - логическое противоречие. Это утверждение предполагает, что близнецы 'ситуации симметричны и взаимозаменяемы, что неверно. Кроме того, были проведены доступные эксперименты, которые подтверждают предсказание Эйнштейна.

В 1911 году Поль Ланжевен дал «яркий пример», описывая историю путешественника , делая поездку на фактор Лоренца от γ = 100(99,995% скорости света). Путешественник остается в снаряде в течение одного года своего времени, а затем меняет направление. По возвращении путешественник обнаружит, что он постарел на два года, а на Земле прошло 200 лет. Во время путешествия и путешественник, и Земля продолжают посылать сигналы друг другу с постоянной скоростью, что ставит историю Ланжевена среди версий двойного парадокса с доплеровским сдвигом. Релятивистские эффекты на скорости передачи сигналов используются для учета различных скоростей старения. Асимметрия, возникшая из-за того, что только путешественник испытал ускорение, используется для объяснения того, почему вообще есть какая-либо разница, потому что «любое изменение скорости или любое ускорение имеет абсолютное значение». ^{[A 3]}

Макс фон Лауэ (1911, 1913) развил объяснение Ланжевена. Используя Герман Минковский «s пространства - времени формализм, Лауэ продолжал демонстрировать , что мировые линии этих инерционно движущихся тел максимально подходящее время , прошедшее между двумя событиями. Он также написал, что асимметричное старение полностью объясняется тем фактом, что близнец-космонавт движется в двух отдельных кадрах, в то время как близнец Земли остается в одном кадре, и время ускорения можно сделать сколь угодно малым по сравнению со временем движения по инерции. . ^{[A 4] [A 5] [A 6]} В конце концов, лорд Холсберии другие устранили любое ускорение, введя подход «трех братьев». Путешествующий близнец передает свои часы третьему, движущемуся в противоположном направлении. Другой способ избежать эффектов ускорения - это использование релятивистского эффекта Доплера (см. Как это выглядит: релятивистский доплеровский сдвиг ниже).

Ни Эйнштейн, ни Ланжевен не считали такие результаты проблематичными: Эйнштейн только назвал их «странными», а Ланжевен представил их как следствие абсолютного ускорения. ^{[A 7]} Оба мужчины утверждали, что из разницы во времени, проиллюстрированной историей о близнецах, нельзя построить никакого противоречия. Другими словами, ни Эйнштейн, ни Ланжевен не считали историю о близнецах вызовом самосогласованности релятивистской физики.

Конкретный пример [ править ]

Рассмотрим космический корабль, путешествующий от Земли к ближайшей звездной системе: расстояние d = 4 световых года от нас, со скоростью v = 0,8 c (то есть 80% скорости света).

Чтобы упростить подсчеты, предполагается, что корабль набирает полную скорость за незначительное время после отправления (даже если на самом деле потребуется около 9 месяцев на ускорение на 1  g, чтобы набрать скорость). Аналогичным образом предполагается, что в конце исходящего рейса изменение направления, необходимое для начала обратного пути, происходит за незначительное время. Это также можно смоделировать, если предположить, что корабль уже находится в движении в начале эксперимента и что событие возврата моделируется ускорением распределения дельты Дирака . ^[16]

Стороны будут наблюдать за ситуацией следующим образом: ^{[17] [18]}

Перспектива Земли [ править ]

Управление миссий с Земли рассуждает о путешествии следующим образом: путешествие туда и обратно займет t = 2 d / v = 10 лет по земному времени ( т.е. все на Земле будут на 10 лет старше, когда корабль вернется). Количество времени, измеренное на корабельных часах, и старение путешественников во время их путешествия будут уменьшены на коэффициент , обратный фактору Лоренца ( замедление времени ). В этом случае ε = 0,6, и к моменту возвращения путешественники будут в возрасте только 0,6 × 10 = 6 лет .${\ Displaystyle \ varepsilon = \ scriptstyle {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$

Взгляд путешественников [ править ]

Члены экипажа корабля также просчитывают детали своего путешествия со своей точки зрения. Они знают, что далекая звездная система и Земля движутся относительно корабля во время путешествия со скоростью v . В их системе координат покоя расстояние между Землей и звездной системой составляет εd = 0,6 × 4 = 2,4 световых года ( сокращение длины ) как для обратного, так и для обратного пути. Каждая половина пути занимает εd / v = 2,4 / 0,8 = 3 года., а поездка туда и обратно занимает вдвое больше (6 лет). Их расчеты показывают, что они вернутся домой в возрасте 6 лет. Окончательный расчет путешественников относительно своего старения полностью согласуется с расчетами тех, кто живет на Земле, хотя они переживают путешествие совсем иначе, чем те, кто остается дома.

Заключение [ править ]

Независимо от того, какой метод они используют для прогнозирования показаний часов, все согласятся с ними. Если в день отплытия корабля родятся близнецы, и один из них отправится в путешествие, а другой останется на Земле, они встретятся снова, когда путешественнику исполнится 6 лет, а близнецу-домоседу - 10 лет.

Разрешение парадокса в специальной теории относительности [ править ]

Парадоксальный аспект ситуации близнецов возникает из-за того факта, что в любой данный момент часы путешествующего близнеца идут медленно в инерциальной системе отсчета земного близнеца, но, основываясь на принципе относительности, можно в равной степени утверждать, что часы земного близнеца идут медленно в инерциальная система путешествующего близнеца. ^{[19] [20] [21]}Одно из предлагаемых решений основано на том факте, что привязанный к Земле близнец находится в покое в одной и той же инерциальной системе отсчета на протяжении всего путешествия, в то время как путешествующий близнец - нет: в простейшей версии мысленного эксперимента перемещающийся близнец переключается в средней точке путешествие от состояния покоя в инерциальной системе координат, которая движется в одном направлении (от Земли) до состояния покоя в инерциальной системе координат, которая движется в противоположном направлении (по направлению к Земле). В этом подходе решающее значение имеет определение того, какой наблюдатель переключает кадры, а какой нет. Хотя оба близнеца могут законно утверждать, что они находятся в состоянии покоя в собственном теле, только путешествующий близнец испытывает ускорение, когда включаются двигатели космического корабля. Это ускорение, которое можно измерить с помощью акселерометра, временно делает его опорную раму неинерционной.Это выявляет критическую асимметрию между взглядами близнецов: хотя мы можем предсказать разницу в старении с обеих точек зрения, нам нужно использовать разные методы для получения правильных результатов.

Роль ускорения [ править ]

Хотя некоторые решения приписывают решающую роль ускорению движущегося близнеца во время поворота, ^{[19] [20] [21] [22]} другие отмечают, что эффект также возникает, если представить себе двух отдельных путешественников, один из которых направляется наружу. идущий и один заходящий внутрь, которые проходят друг мимо друга и синхронизируют свои часы в точке, соответствующей «обороту» одного путешественника. В этой версии физическое ускорение ходовых часов не играет прямой роли; ^{[23] [24] [16]} «вопрос в том, какова длина мировых линий, а не в том, насколько они изогнуты». ^[25]Упомянутая здесь длина - это лоренц-инвариантная длина или «собственный временной интервал» траектории, который соответствует истекшему времени, измеренному часами, следующими по этой траектории (см. Раздел « Разница в прошедшем времени в результате различий в пространственно-временных путях близнецов». ниже). В пространстве-времени Минковского путешествующий близнец должен ощущать иную историю ускорений, чем близнец, привязанный к Земле, даже если это означает просто ускорения того же размера, разделенные разным промежутком времени, ^[25] однако «даже эту роль ускорения можно исключить в формулировки парадокса близнецов в искривленном пространстве-времени, где близнецы могут свободно падать по геодезическим пространствам-времени между встречами ». ^[6]

Относительность одновременности [ править ]

Чтобы понять, как проявляется разница во времени между близнецами, нужно понимать, что в специальной теории относительности нет концепции абсолютного настоящего . Для разных инерциальных кадров существуют разные наборы событий, одновременных в этом кадре. Эта относительность одновременностиозначает, что переключение с одного инерциального кадра на другой требует корректировки того, какой срез в пространстве-времени считается «настоящим». На пространственно-временной диаграмме справа, нарисованной для системы отсчета земного близнеца, мировая линия этого близнеца совпадает с вертикальной осью (его положение постоянно в пространстве, движется только во времени). На первом отрезке пути второй близнец перемещается вправо (черная наклонная линия); и на второй ноге обратно влево. Синие линии показывают плоскости одновременностидля путешествующего близнеца на первом этапе путешествия; красные линии во время ответного матча. Непосредственно перед разворотом путешествующий близнец вычисляет возраст земного двойника, измеряя интервал по вертикальной оси от начала координат до верхней синей линии. Сразу после поворота, если он произведет повторный расчет, он измерит интервал от начала координат до нижней красной линии. В некотором смысле, во время разворота плоскость одновременности перескакивает с синего на красный и очень быстро пролетает над большим отрезком мировой линии близнеца, находящегося на Земле. При переходе от исходящей инерциальной системы отсчета к входящей инерциальной системе координат происходит скачкообразный скачок возраста земного двойника ^{[19] [20] [24] [26] [27]} (6,4 года в примере над).

Непространственно-временной подход [ править ]

Как упоминалось выше, двойное парадоксальное приключение "туда-сюда" может включать в себя передачу показаний часов от "уходящего" астронавта к "прибывающему" астронавту, таким образом полностью устраняя эффект ускорения. Кроме того, согласно так называемому «постулату часов», физическое ускорение часов не влияет на кинематические эффекты специальной теории относительности. Скорее, разница во времени между двумя воссоединенными часами создается исключительно за счет равномерного инерционного движения, как обсуждалось в оригинальной статье Эйнштейна 1905 года по теории относительности ^[23], а также во всех последующих кинематических выводах преобразований Лоренца.

Поскольку диаграммы пространства-времени включают синхронизацию часов Эйнштейна (с его методологией решетки часов), произойдет необходимый скачок в показании времени земных часов, сделанный «внезапно возвращающимся астронавтом», который наследует «новое значение одновременности» в соответствии с новая синхронизация часов, продиктованная переходом в другую инерциальную систему отсчета, как объяснил Джон А. Уиллер в книге «Физика пространства-времени». ^[26]

Если вместо включения синхронизации часов Эйнштейна (решетка часов), астронавт (исходящий и входящий) и наземная сторона регулярно обновляют друг друга о состоянии своих часов путем отправки радиосигналов (которые движутся со скоростью света) , то все стороны отметят постепенное нарастание асимметрии в хронометраже, начиная с точки «разворота». До «поворота» каждая сторона считает, что часы другой стороны записывают время иначе, чем ее собственное, но отмеченная разница симметрична между двумя сторонами. После «поворота» отмеченные различия не являются симметричными, и асимметрия постепенно увеличивается, пока две стороны не воссоединятся. После окончательного воссоединенияэту асимметрию можно увидеть в реальной разнице, показываемой на двух воссоединившихся часах. ^[28]

Эквивалентность биологического старения и хронометража [ править ]

Все процессы - химические, биологические, функционирование измерительной аппаратуры, человеческое восприятие с участием глаза и мозга, передача силы - ограничены скоростью света. Часы работают на каждом уровне, в зависимости от скорости света и присущей им задержки даже на атомном уровне. Следовательно, биологическое старение ничем не отличается от хронометража часов. ^[29] Это означает, что биологическое старение замедлится так же, как часы.

Как это выглядит: релятивистский доплеровский сдвиг [ править ]

Ввиду зависимости от кадра одновременности событий в разных точках пространства, некоторые методы лечения предпочитают более феноменологический подход, описывая то, что близнецы наблюдали бы, если бы каждый из них посылал серию регулярных радиоимпульсов, равномерно распределенных во времени в соответствии с излучателем. Часы. ^[24] Это эквивалентно вопросу: если каждый из близнецов отправил друг другу видео о себе, что они видят на своих экранах? Или, если у каждого близнеца всегда есть часы, показывающие его возраст, какое время каждый увидит на изображении своего далекого близнеца и его часов?

Вскоре после отъезда путешествующий близнец без промедления видит близнеца-домоседа. По прибытии изображение на экране корабля показывает оставшегося близнеца таким, каким он был через год после запуска, потому что радио, излучаемое с Земли через год после запуска, достигает другой звезды через 4 года и встречает там корабль. Во время этого этапа поездки, путешествующий близнец видит свои тактовые вперед 3 -х лет и часы в заранее экране 1 год, так что кажется , для продвижения на ¹ / ₃ нормальную скорость, всего 20 секунд на изображение корабля минуты. Это объединяет эффекты замедления времени из-за движения (с коэффициентом ε = 0,6, пять лет на Земле - это 3 года на корабле) и эффект увеличения световой задержки (которая возрастает с 0 до 4 лет).

Конечно, наблюдаемая частота передачи также ¹ / ₃ частоты передатчика (снижение частоты; «красное смещение»). Это называется релятивистским эффектом Доплера . Частота тактовых импульсов (или волновых фронтов), которую можно увидеть от источника с частотой _покоя f _rest, равна

${\ displaystyle f _ {\ mathrm {obs}} = f _ {\ mathrm {rest}} {\ sqrt {\ left ({1-v / c} \ right) / \ left ({1 + v / c} \ right )}}}$

когда источник удаляется прямо. Это F _набл = ¹ / ₃ F _{остальные} для V / с = 0,8.

Что касается пребывания на доме двойника, он получает замедлил сигнал с корабля в течение 9 лет, на частоту ⁺¹ / ₊₃ частоте передатчика. В течение этих 9 лет, часы передвижного двойника на экране , кажется, заранее 3 -х лет, так что оба близнеца увидеть образ их собрата старения со скоростью только ⁺¹ / ₃ их собственной скорости. Выражаясь по - другому, они оба увидеть друг запустить часы на ¹ / ₃ их собственной тактовой частоте. Если вычесть из расчета тот факт, что световая задержка передачи увеличивается со скоростью 0,8 секунды в секунду, оба могут решить, что другой близнец стареет медленнее, со скоростью 60%.

Затем корабль поворачивает обратно к дому. Часы оставшегося близнеца показывают на экране корабля «1 год после запуска», а за 3 года обратного путешествия они увеличиваются до «10 лет после запуска», поэтому часы на экране, кажется, идут вперед. В 3 раза быстрее обычного.

Когда источник движется к наблюдателю, наблюдаемая частота выше ("с синим смещением") и определяется выражением

${\ displaystyle f _ {\ mathrm {obs}} = f _ {\ mathrm {rest}} {\ sqrt {\ left ({1 + v / c} \ right) / \ left ({1-v / c} \ right )}}}$

Это f _obs = 3 f _rest для v / c = 0,8.

Что касается экрана на Земле, он показывает, что путешествие начинается через 9 лет после запуска, а путевые часы на экране показывают, что на корабле прошло 3 года. Год спустя корабль возвращается домой, и часы показывают 6 лет. Итак, во время обратного путешествия оба близнеца видят, что часы их брата или сестры идут в 3 раза быстрее, чем их собственные. С учетом того факта, что время задержки света уменьшается на 0,8 секунды каждую секунду, каждый близнец считает, что другой близнец стареет на 60% своей собственной скорости старения.

Х - т (пространство-время) диаграммы на левой показывают пути световых сигналов , проходящих между Землей и судов (1 - й диаграмме) и между кораблем и Землей (вторая диаграмма). Эти сигналы несут изображения каждого близнеца и его возрастные часы другому близнецу. Вертикальная черная линия - это путь Земли в пространстве-времени, а две другие стороны треугольника показывают путь корабля в пространстве-времени (как на диаграмме Минковского выше). Что касается отправителя, он передает их с равными интервалами (скажем, один раз в час) в соответствии со своими часами; но согласно часам близнеца, принимающего эти сигналы, они не принимаются с равными интервалами.

После того, как корабль достигнет крейсерской скорости 0,8 с , каждый из близнецов будет видеть 1-секундный проход в полученном изображении другого близнеца за каждые 3 секунды своего времени. То есть каждый будет видеть изображение часов другого, идущего медленно, не только медленнее на коэффициент ε 0,6, но даже медленнее, потому что временная задержка света увеличивается на 0,8 секунды в секунду. На рисунках это показано красными световыми дорожками. В какой-то момент изображения, полученные каждым из близнецов, меняются так, что каждый видит 3 секунды, проходящие в изображении за каждую секунду своего собственного времени. То есть частота принимаемого сигнала увеличилась за счет доплеровского сдвига. Эти высокочастотные изображения показаны на рисунках путями синего света.

Асимметрия в изображениях со смещением Доплера [ править ]

Асимметрия между Землей и космическим кораблем проявляется на этой диаграмме в том факте, что корабль получает больше изображений с синим смещением (быстрое старение). Другими словами, космический корабль видит изменение изображения с красного смещения (более медленное старение изображения) на синее смещение (более быстрое старение изображения) в середине своего полета (на обороте, через 3 года после вылета). ); Земля видит, как изображение корабля меняется с красного смещения на синее через 9 лет (почти в конце периода отсутствия корабля). В следующем разделе мы увидим еще одну асимметрию в изображениях: земной близнец видит возраст близнеца корабля на одинаковую величину на красных и синих смещенных изображениях; корабль-близнец видит возраст двойника Земли по-разному на красных и синих изображениях.

Расчет прошедшего времени по доплеровской диаграмме [ править ]

Близнец на корабле видит низкочастотные (красные) изображения в течение 3 лет. За это время он увидел бы двойника Земли на изображении, который стал старше на 3/3 = 1 год . Затем он видит высокочастотные (синие) изображения во время трехлетнего обратного путешествия. За это время он увидел бы двойника Земли на изображении, который стал старше на 3 × 3 = 9 лет. Когда путешествие закончено, изображение двойника Земли постарело на 1 + 9 = 10 лет.

Земной двойник видит 9 лет медленных (красных) изображений корабля-близнеца, в течение которых корабль-двойник стареет (на изображении) на 9/3 = 3 года. Затем он видит быстрые (синие) изображения за оставшийся 1 год до возвращения корабля. На быстрых снимках корабль-близнец стареет на 1 × 3 = 3 года. Общее старение корабля-близнеца на изображениях, полученных Землей, составляет 3 + 3 = 6 лет , поэтому корабль-близнец возвращается моложе (на 6 лет по сравнению с 10 годами на Земле).

Разница между тем, что они видят, и тем, что они вычисляют [ править ]

Чтобы избежать путаницы, обратите внимание на разницу между тем, что видит каждый из близнецов, и тем, что каждый из них рассчитывает. Каждый видит изображение своего близнеца, которое, как он знает, возникло в предыдущий раз и которое, как он знает, доплеровски сдвинуто. Он не воспринимает прошедшее время на изображении как возраст своего близнеца сейчас.

• Если он хочет вычислить, когда его близнецу был возраст, указанный на изображении ( то есть сколько ему было тогда лет), он должен определить, как далеко находился его близнец, когда был подан сигнал - другими словами, он должен учитывать одновременность на далекое мероприятие.
• Если он хочет подсчитать, насколько быстро стареет его близнец, когда изображение было передано, он настраивается на доплеровский сдвиг. Например, когда он получает высокочастотные изображения (показывающие, что его близнец быстро стареет) с частотой , он не делает вывод о том, что близнец стареет так быстро, когда изображение было сгенерировано, равно как и он делает вывод, что сирена машины скорой помощи излучает частота, которую он слышит. Он знает, что эффект Доплера увеличил частоту изображения в 1 / (1 - v / c ) раз. Следовательно, он подсчитал, что его близнец стареет со скоростью${\ Displaystyle \ scriptstyle {е _ {\ mathrm {rest}} {\ sqrt {\ left ({1 + v / c} \ right) / \ left ({1-v / c} \ right)}}}}$

${\displaystyle f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {\left({1+v/c}\right)/\left({1-v/c}\right)}}\times \left(1-v/c\right)=f_{\mathrm {rest} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\equiv \epsilon f_{\mathrm {rest} }}$

когда изображение было выпущено. Аналогичный расчет показывает, что его близнец стареет с одинаковой пониженной скоростью _покоя εf на всех низкочастотных изображениях.

Одновременность вычисления доплеровского сдвига [ править ]

Может быть трудно увидеть, где одновременность появилась в расчете доплеровского сдвига, и действительно, расчет часто предпочтительнее, потому что не нужно беспокоиться об одновременности. Как видно выше, корабль-близнец может преобразовать полученную скорость с доплеровским смещением в более медленную скорость дальних часов для красных и синих изображений. Если он игнорирует одновременность, он может сказать, что его близнец стареет медленнее на протяжении всего путешествия и, следовательно, должен быть моложе его. Теперь он вернулся к исходной точке и должен принять во внимание изменение в своем представлении об одновременности во время поворота. Скорость, которую он может вычислить для изображения (с поправкой на эффект Доплера), - это скорость часов двойника Земли в момент отправки, а не в момент получения. Поскольку он получает неравное количество изображений с красным и синим смещением,он должен понимать, что смещенные в красный и синий цвета излучения не испускались для двойника Земли в течение равных периодов времени, и поэтому он должен учитывать одновременность на расстоянии.

Точка зрения путешествующего близнеца [ править ]

Во время поворота движущийся близнец находится в ускоренной системе отсчета . Согласно принципу эквивалентности , путешествующий близнец может анализировать фазу поворота так, как если бы одинокий близнец свободно падал в гравитационном поле и как если бы путешествующий близнец был неподвижен. В статье Эйнштейна 1918 года представлен концептуальный набросок этой идеи. ^{[A 8]}С точки зрения путешественника расчет для каждого отдельного этапа без учета поворота приводит к результату, в котором часы Земли стареют меньше, чем путешественник. Например, если часы Земли на каждой ноге устареют на 1 день меньше, то время, на которое часы Земли будут отставать, составит 2 дня. Физическое описание того, что происходит при повороте, должно производить противоположный эффект вдвое больше: опережение земных часов на 4 дня. Тогда часы путешественника будут иметь чистую двухдневную задержку на земных часах, что согласуется с расчетами, выполненными в рамках системы-близнеца-домоседа.

Механизм движения часов близнеца-домоседа - это гравитационное замедление времени . Когда наблюдатель обнаруживает, что движущиеся по инерции объекты ускоряются относительно самих себя, эти объекты находятся в гравитационном поле, насколько это касается теории относительности. Для движущегося близнеца на повороте это гравитационное поле заполняет Вселенную. В приближении слабого поля часы идут со скоростью t ' = t (1 + Φ / c ² ), где Φ - разность гравитационного потенциала. В этом случае Φ = gh, где g- ускорение путешествующего наблюдателя во время поворота, а h - расстояние до близнеца-домоседа. Ракета стреляет в близнеца-домоседа, тем самым создавая для этого близнеца более высокий гравитационный потенциал. Из-за большого расстояния между близнецами часы близнеца-домоседа будут ускоряться достаточно быстро, чтобы учесть разницу в собственном времени, которую испытывают близнецы. Не случайно, что этого ускорения достаточно, чтобы учесть описанный выше сдвиг одновременности. Решение общей теории относительности для статического однородного гравитационного поля и решение специальной теории относительности для конечного ускорения дают идентичные результаты. ^[30]

Другие расчеты были сделаны для движущегося близнеца (или для любого наблюдателя, который иногда ускоряется), которые не включают принцип эквивалентности и не включают никаких гравитационных полей. Такие расчеты основаны только на специальной теории относительности, а не на общей. Один из подходов вычисляет поверхности одновременности, рассматривая световые импульсы, в соответствии с идеей k-исчисления Германа Бонди . ^[31] Второй подход вычисляет простой, но технически сложный интеграл, чтобы определить, как путешествующий близнец измеряет прошедшее время на часах неработающего дома. Краткое описание этого второго подхода приведено в отдельном разделе ниже .

Разница в прошедшем времени в результате различий в пространственно-временных путях близнецов [ править ]

В следующем абзаце показано несколько вещей:

• как применить точный математический подход к вычислению разницы во времени
• как точно доказать зависимость прошедшего времени от различных путей, пройденных близнецами в пространстве-времени
• как количественно оценить разницу во времени
• как рассчитать собственное время как функцию (интеграл) координатного времени

Пусть часы K ассоциируются с «близнецом, сидящим дома». Пусть часы K ' связаны с ракетой, совершающей полет. В событии отъезда оба таймера установлены на 0.

Этап 1: Ракета (с часами K» ) отправляется с постоянным собственно ускорением а в течение времени Т _а , как измерено с помощью тактового K до тех пор, пока не достигнет некоторой скоростью V .

Фаза 2: Ракета продолжает движение по инерции со скоростью V в течение некоторого времени Т _с в соответствии с часами K .

Фаза 3: Ракета запускает свои двигатели в направлении , противоположном от K в течение времени T в соответствии с тактовой K , пока она не находится в состоянии покоя по отношению к тактовой K . Постоянное собственное ускорение имеет значение - а , другими словами, ракета замедляется .

Фаза 4: Ракета продолжает запускать свои двигатели в направлении, противоположном K , в течение того же времени T _a по часам K , пока K 'не восстановит ту же скорость V относительно K , но теперь в направлении K (со скоростью - V ).

Этап 5: Ракета продолжает движение по инерции в направлении K со скоростью V в течение того же времени Т _гр в соответствии с часами K .

Фаза 6: Ракета снова запускает свои двигатели в направлении K , поэтому она замедляется с постоянным надлежащим ускорением a в течение времени T _a , по-прежнему в соответствии с часами K , до тех пор, пока часы не воссоединятся.

Зная, что часы K остаются инерционными (неподвижными), общее накопленное собственное время Δ τ часов K ' будет задано интегральной функцией координатного времени Δ t

${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {1-(v(t)/c)^{2}}}\ dt\ }$

где v ( t ) - координатная скорость часов K ' как функция t в соответствии с часами K , и, например, во время фазы 1, заданная формулой

${\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}.}$

Этот интеграл можно вычислить для 6 фаз: ^[32]

Фаза 1 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Фаза 2 ${\displaystyle :\quad T_{c}\ {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Фаза 3 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Фаза 4 ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

Фаза 5 ${\displaystyle :\quad T_{c}\ {\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

6 этап ${\displaystyle :\quad c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)\,}$

где a - собственное ускорение, ощущаемое часами K ' во время фазы (ов) ускорения, и где выполняются следующие соотношения между V , a и T _a :

${\displaystyle V=a\ T_{a}/{\sqrt {1+(a\ T_{a}/c)^{2}}}}$

${\displaystyle a\ T_{a}=V/{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}}$

Таким образом, путевые часы K ' покажут прошедшее время

${\displaystyle \Delta \tau =2T_{c}{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}+4c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)}$

который можно выразить как

${\displaystyle \Delta \tau =2T_{c}/{\sqrt {1+(a\ T_{a}/c)^{2}}}+4c/a\ {\text{arsinh}}(a\ T_{a}/c)}$

тогда как стационарные часы K показывают истекшее время

${\displaystyle \Delta t=2T_{c}+4T_{a}\,}$

которое для всех возможных значений a , T _a , T _c и V больше, чем показание часов K ' :

${\displaystyle \Delta t>\Delta \tau \,}$

Разница во времени: как рассчитать по кораблю [ править ]

В стандартной формуле собственного времени

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{0}^{\Delta t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t)}{c}}\right)^{2}}}\ dt,\ }$

Δ τ представляет время неинерциального (путешествующего) наблюдателя K ' как функцию истекшего времени Δ t инерционного (находящегося дома) наблюдателя K, для которого наблюдатель K' имеет скорость v ( t ) в момент времени т .

Для вычисления затраченного времени Δ t инерциального наблюдателя K как функции затраченного времени Δ τ неинерциального наблюдателя K ' , где доступны только величины, измеренные K' , можно использовать следующую формулу: ^[16]

${\displaystyle \Delta t^{2}=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\,\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right],\ }$

где a (τ) - собственное ускорение неинерциального наблюдателя K ', измеренное им самим (например, акселерометром) в течение всего пути туда и обратно. Неравенство Коши-Шварца можно использовать , чтобы показать , что неравенство Δ т > Δ т вытекает из предыдущего выражения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t^{2}&=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\,\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]\\&>\left[\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,e^{-\int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')\,d\tau '}\,d{\bar {\tau }}\right]^{2}=\left[\int _{0}^{\Delta \tau }d{\bar {\tau }}\right]^{2}=\Delta \tau ^{2}.\end{aligned}}}$

Используя дельта-функцию Дирака для моделирования фазы бесконечного ускорения в стандартном случае, когда путешественник имеет постоянную скорость v во время выезда и въезда, формула дает известный результат:

${\displaystyle \Delta t={\frac {1}{\sqrt {1-{\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\Delta \tau .\ }$

В случае, когда ускоренный наблюдатель K ' удаляется от K с нулевой начальной скоростью, общее уравнение сводится к более простой форме:

${\displaystyle \Delta t=\int _{0}^{\Delta \tau }e^{\pm \int _{0}^{\bar {\tau }}a(\tau ')d\tau '}\,d{\bar {\tau }},\ }$

что в гладкой версии парадокса близнецов, где путешественник имеет постоянные собственные фазы ускорения, последовательно задаваемые a , - a , - a , a , приводит к ^[16]

${\displaystyle \Delta t={\tfrac {4}{a}}\sinh({\tfrac {a}{4}}\Delta \tau )\ }$

где используется соглашение c = 1 в соответствии с приведенным выше выражением с фазами ускорения T _a = Δ t / 4 и инерционными фазами (выбегом) T _c = 0.

Ротационная версия [ править ]

Близнецы Боб и Алиса обитают на космической станции, вращающейся по круговой орбите вокруг массивного тела в космосе. Боб одевается и выходит из станции. Пока Алиса остается внутри станции, продолжая двигаться по орбите, как и раньше, Боб использует ракетную двигательную установку, чтобы прекратить движение по орбите и зависнуть там, где он был. Когда станция завершает движение по орбите и возвращается к Бобу, он присоединяется к Алисе. Алиса теперь моложе Боба. ^[33] В дополнение к ускорению вращения Боб должен замедлиться, чтобы стать неподвижным, а затем снова ускориться, чтобы соответствовать орбитальной скорости космической станции.

Никакого двойного парадокса в абсолютной системе отсчета [ править ]

Вывод Эйнштейна о реальной разнице в зарегистрированном времени (или старении) между воссоединившимися сторонами заставил Пола Ланжевена постулировать действительную, хотя экспериментально необнаружимую, абсолютную систему отсчета:

В 1911 году Ланжевен писал: «Единообразный перевод в эфире не имеет экспериментального смысла. Но из-за этого не следует делать вывод, как это иногда случалось преждевременно, что концепция эфира должна быть отброшена, что эфира не существует. и недоступна для эксперимента. Невозможно обнаружить только равномерную скорость относительно нее, но любое изменение скорости ... имеет абсолютный смысл ". ^[34]

В 1913 году были опубликованы посмертные « Последние эссе» Анри Пуанкаре, в которых он вновь изложил свою позицию: «Сегодня некоторые физики хотят принять новую конвенцию. Дело не в том, что они вынуждены это делать; они считают эту новую конвенцию более удобной, т. Е. все. И те, кто не придерживается этого мнения, могут законно сохранить старую "." ^[35]

В теории относительности Пуанкаре и Хендрика Лоренца , которая предполагает абсолютную (хотя экспериментально неразличимую) систему отсчета, не возникает двойного парадокса из-за того, что замедление часов (наряду с сокращением длины и скоростью) рассматривается как действительность, отсюда и действительность. разница во времени между воссоединенными часами.

Эта интерпретация относительности, которую Джон А. Уилер называет «теорией эфира B (сокращение длины плюс сокращение времени)», не получила такого большого внимания, как теория Эйнштейна, которая просто игнорировала более глубокую реальность, лежащую в основе симметричных измерений в инерциальных системах отсчета. Не существует физического теста, который отличал бы одну интерпретацию от другой. ^[36]

Совсем недавно (в 2005 году) Роберт Б. Лафлин (лауреат Нобелевской премии по физике, Стэнфордский университет) писал о природе космоса:

«Парадоксально, что самая творческая работа Эйнштейна, общая теория относительности, сводится к концептуализации пространства как среды, в то время как его первоначальная посылка [в специальной теории относительности] заключалась в том, что такой среды не существовало ... Слово« эфир »чрезвычайно важно. отрицательные коннотации в теоретической физике из-за того, что в прошлом она ассоциировалась с противостоянием теории относительности. Это прискорбно, потому что, лишенное этих коннотаций, оно довольно хорошо отражает то, как большинство физиков на самом деле думают о вакууме ... Теория относительности фактически ничего не говорит о существовании или отсутствие материи, пронизывающей вселенную, только то, что любая такая материя должна иметь релятивистскую симметрию ". (т.е. как измерено) " ^[37]

AP French пишет в специальной теории относительности :

Однако обратите внимание, что мы апеллируем к реальности ускорения А и к наблюдаемости связанных с ним сил инерции. Существовали бы такие эффекты, как парадокс близнецов, если бы не существовало каркаса неподвижных звезд и далеких галактик? физики сказали бы нет. Наше окончательное определение инерциальной системы отсчета действительно может заключаться в том, что это система отсчета, имеющая нулевое ускорение по отношению к материи Вселенной в целом ")" ^[38].

См. Также [ править ]

• Парадокс космического корабля Белла
• Гипотеза часов
• Парадокс Эренфеста
• Герберт Дингл
• Лестничный парадокс
• Парадокс Supplee
• Замедление времени
• Время для звезд

Первоисточники [ править ]

Вторичные источники [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Идеальные часы

Идеальные часы это часы, действие которого зависит только от его мгновенной скорости, и не зависит от какого - либо ускорения тактового сигнала.

• Вольфганг Риндлер (2006). «Замедление времени» . Относительность: специальная, общая и космологическая . Издательство Оксфордского университета. п. 43. ISBN 0-19-856731-6.

Гравитационное замедление времени; замедление времени в круговом движении

• Джон Павлин (2001). Космологическая физика . Издательство Кембриджского университета. п. 8. ISBN 0-521-42270-1.
• Сильвио Бонометто; Витторио Горини; Уго Москелла (2002). Современная космология . CRC Press. п. 12. ISBN 0-7503-0810-9.
• Патрик Корнилл (2003). Продвинутый электромагнетизм и физика вакуума . World Scientific. п. 180. ISBN 981-238-367-0.

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике есть книга по теме: Специальная теория относительности.

Викискладе есть медиафайлы, связанные с парадоксом близнецов .

• Обзор Twin Paradox в FAQ Usenet Physics
• Парадокс близнецов: парадоксальна ли симметрия замедления времени? От Einsteinlight: Относительность в анимации и клипах .
• FLASH-анимация: от Джона де Пиллиса. (Сцена 1): «Вид» с точки зрения двойника Земли. (Сцена 2): «Вид» с точки зрения путешествующего близнеца.
• Калькулятор науки о относительности - Парадокс двух часов