Проблема с двумя конвертами

Тон или стиль этой статьи могут не отражать энциклопедический тон, используемый в Википедии . См. Рекомендации в руководстве Википедии по написанию лучших статей . ( Август 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

У этой статьи нечеткий стиль цитирования . Используемые ссылки можно сделать более ясными с помощью другого или последовательного стиля цитирования и сносок . Ссылки в форме «Автор (Год)» используются в тексте, но не всегда поясняются. Кроме того, в некоторых разделах нет ссылок .. ( август 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Головоломка касается двух конвертов с деньгами.

Проблема два конверта , также известная как обменной парадокс , это мозг тизер , головоломки , или парадокс в логике , вероятности и отдых математике . Это представляет особый интерес в теории принятия решений , а также для байесовской интерпретации по теории вероятностей . Исторически возник как вариант парадокса галстука . Проблема обычно вводится путем формулирования гипотетической задачи следующего типа:

Вам выдаются два неотличимых конверта , в каждом из которых лежат деньги. В одном содержится вдвое больше, чем в другом. Вы можете выбрать один конверт и оставить деньги в нем. Выбрав конверт по желанию, но перед его просмотром вам предоставляется возможность поменять конверты. Стоит ли переключиться?

Кажется очевидным, что менять огибающие нет смысла, так как ситуация симметрична. Однако, поскольку вы можете получить вдвое больше денег, если переключитесь, рискуя потерять лишь половину того, что у вас есть в настоящее время, можно утверждать, что переключение более выгодно. ^[1]

Введение [ править ]

Проблема [ править ]

Базовая установка : вам выдаются два неотличимых конверта, каждый из которых содержит положительную сумму денег. В одном конверте вдвое больше, чем в другом. Вы можете выбрать один конверт и оставить все, что в нем есть. Вы выбираете один конверт наугад, но перед тем, как открыть его, вам предоставляется возможность взять другой конверт. ^[2]

Аргумент переключения : теперь предположим, что вы рассуждаете следующим образом:

Загадка : Загадка состоит в том, чтобы найти изъян в очень убедительной аргументации, приведенной выше. Это включает в себя точное определение того, почему и при каких условиях этот шаг неверен, чтобы быть уверенным, что не совершите эту ошибку в более сложной ситуации, когда ошибка может быть не столь очевидна. Короче говоря, проблема в том, чтобы разрешить парадокс. Таким образом, в частности, загадка не решается очень простой задачей найти другой способ вычисления вероятностей, не приводящий к противоречию.

Множественность предлагаемых решений [ править ]

Было предложено много решений. Некоторые простые, некоторые очень сложные. Обычно один писатель предлагает решение проблемы, как указано, после чего другой писатель показывает, что изменение проблемы немного возрождает парадокс. Такая последовательность обсуждений привела к появлению семейства тесно связанных формулировок проблемы, в результате чего появилась обширная литература по этому вопросу. ^[3] Чтобы статья оставалась краткой, ниже упоминается лишь небольшая часть всех предложенных идей решения.

Ни одно из предложенных решений не считается окончательным. ^[4] Несмотря на это, авторы часто утверждают, что решение проблемы простое, даже элементарное. ^[5] Однако при исследовании этих элементарных решений они часто различаются от одного автора к другому.

Простое разрешение [ править ]

Общая сумма в обоих конвертах постоянна , причем в одном конверте и в другом. Если вы выберете конверт первым, вы получите сумму путем обмена. Если вы выберете конверт первым, вы потеряете сумму при обмене. Таким образом, вы в среднем получаете выгоду от обмена.${\ displaystyle c = 3x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 2x}$
${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 2x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G = {1 \ over 2} (x) + {1 \ over 2} (- x) = {1 \ over 2} (xx) = 0}$

Обмен не лучше, чем хранение. Ожидаемое значение одинаково для обоих конвертов. Таким образом, противоречия нет. ^[6]${\ displaystyle \ operatorname {E} = {\ frac {1} {2}} 2x + {\ frac {1} {2}} x = {\ frac {3} {2}} x}$

Знаменитая мистификация возникает из-за смешения двух разных обстоятельств и ситуаций, дающих неверные результаты. Так называемый «парадокс» представляет собой два уже назначенных и уже заблокированных конверта, в которых один конверт уже заблокирован вдвое большей суммой, чем другой уже заблокированный конверт. В то время как шаг 6 смели претензии «Таким образом, другой конверт содержит 2A с вероятностью 1/2 и A / 2 с вероятностью 1/2.», В данной ситуации, что требование не может быть применимо к любому А , ни к какому - либо среднему .

Это утверждение никогда не является правильным для представленной ситуации, это утверждение относится только к асимметричному варианту Nalebuff (см. Ниже). В представленной ситуации другой конверт обычно не может содержать 2A, но может содержать 2A только в очень конкретном случае, когда конверт A, случайно, фактически содержит меньшее количество , но нигде больше. Другой конверт обычно не может содержать A / 2, но может содержать A / 2 только в очень конкретном случае, когда конверт A случайно действительно содержит , но нигде больше. Разница между двумя уже назначенными и заблокированными конвертами есть всегда . Никакая "средняя сумма А" никогда не может служить исходной основой для каких-либо${\ displaystyle {\ frac {\ text {Total}} {3}}}$${\ displaystyle 2 {\ frac {\ text {Total}} {3}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ text {Total}} {3}}}$ожидаемое значение , поскольку это не касается сути проблемы. ^[7]

Другие простые решения [ править ]

Распространенный способ разрешить парадокс, как в популярной литературе, так и в части академической литературы, особенно в философии, - это предположить, что буква A на шаге 7 должна быть ожидаемым значением в конверте A и что мы намеревались написать вниз по формуле ожидаемого значения в конверте B.

Шаг 7 утверждает, что ожидаемое значение в B = 1/2 (2A + A / 2)

Следует отметить, что буква A в первой части формулы - это ожидаемое значение, учитывая, что конверт A содержит меньше, чем конверт B, но буква A во второй части формулы является ожидаемым значением в A. , учитывая, что конверт A содержит больше, чем конверт B. Недостаток аргумента состоит в том, что один и тот же символ используется с двумя разными значениями в обеих частях одного и того же вычисления, но предполагается, что он имеет одинаковое значение в обоих случаях.

Правильный расчет будет:

Ожидаемое значение в B = 1/2 ((Ожидаемое значение в B, если A больше B) + (Ожидаемое значение в B, если A меньше B)) ^[8]

Если затем мы возьмем сумму в одном конверте равной x, а сумму в другом - 2x, вычисление ожидаемого значения станет:

Ожидаемое значение в B = 1/2 ( x + 2 x )

что равно ожидаемой сумме в A.

Говоря нетехническим языком, что идет не так (см. Парадокс галстука ), так это то, что в представленном сценарии математика использует относительные значения A и B (то есть предполагается, что можно получить больше денег, если A меньше B, чем можно было бы проиграть, если бы было наоборот). Однако две стоимости денег фиксированы (один конверт содержит, скажем, 20 долларов, а другой 40 долларов). Если значения конвертов переформулировать как x и 2 x , гораздо легче увидеть, что, если бы A было больше, можно было бы потерять x при переключении, а если бы B было больше, можно было бы получить x при переключении. На самом деле нельзя получить большую сумму денег, переключившись, потому что общая сумма T A и B (3 x) остается прежним, а разность x фиксируется на T / 3 .

Строку 7 следовало проработать более тщательно:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (B)&=\operatorname {E} (B\mid A<B)P(A<B)+\operatorname {E} (B\mid A>B)P(A>B)\\&=\operatorname {E} (2A\mid A<B){\frac {1}{2}}+\operatorname {E} \left({\frac {1}{2}}A\mid A>B\right){\frac {1}{2}}\\&=\operatorname {E} (A\mid A<B)+{\frac {1}{4}}\operatorname {E} (A\mid A>B)\end{aligned}}}$

A будет больше, когда A больше B, чем когда оно меньше B. Таким образом, его средние значения (ожидаемые значения) в этих двух случаях различны. И в любом случае среднее значение A не то же самое, что и само значение A. Делаются две ошибки: писатель забыл, что он принимает математические ожидания, и он забыл, что он принимает математические ожидания в двух разных условиях.

Было бы проще вычислить E (B) напрямую. Обозначая меньшую из двух величин через x и считая ее фиксированной (даже если она неизвестна), мы находим, что

${\displaystyle \operatorname {E} (B)={\frac {1}{2}}2x+{\frac {1}{2}}x={\frac {3}{2}}x}$

Мы узнаем, что 1,5 x - это ожидаемое значение суммы в конверте B. По тем же расчетам это также ожидаемое значение суммы в конверте A. Они одинаковы, поэтому нет причин предпочитать один конверт другому. Этот вывод был, конечно, очевиден заранее; Дело в том, что мы определили ложный шаг в аргументе в пользу переключения, объяснив, где именно выполняемые там вычисления сошли с рельсов.

Мы также могли бы продолжить от правильного, но трудно интерпретируемого результата развития в строке 7:

${\displaystyle \operatorname {E} (B)=\operatorname {E} (A\mid A<B)+{\frac {1}{4}}\operatorname {E} (A\mid A>B)=x+{\frac {1}{4}}2x={\frac {3}{2}}x}$

поэтому (конечно) разные маршруты для вычисления одного и того же дают один и тот же ответ.

Цикогианнопулос представил другой способ проведения этих расчетов. ^[9]По определению правильно назначать равные вероятности событиям того, что другой конверт содержит двойное или половинное количество в конверте A. Таким образом, «аргумент переключения» верен до шага 6. Учитывая, что конверт игрока содержит сумму A, он различает реальную ситуацию в двух разных играх: первая игра будет проводиться с суммами (A, 2A), а вторая игра с суммами (A / 2, A). Фактически разыгрывается только один из них, но мы не знаем, какой именно. К этим двум играм нужно относиться по-разному. Если игрок хочет вычислить свой ожидаемый доход (прибыль или убыток) в случае обмена, он / она должен взвесить доход, полученный от каждой игры, на среднюю сумму в двух конвертах в этой конкретной игре. В первом случае прибыль будет A со средней величиной 3A / 2,тогда как во втором случае потеря будет A / 2 со средней суммой 3A / 4. Таким образом, формула ожидаемого дохода в случае обмена, рассматриваемого как доля от общей суммы в двух конвертах, выглядит следующим образом:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {+A}{3A/2}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {-A/2}{3A/4}}=0}$

Этот результат снова означает, что игрок не должен ожидать ни прибыли, ни убытка от обмена конверта.

Мы могли бы действительно открыть наш конверт, прежде чем принять решение о переключении или нет, и приведенная выше формула все равно даст нам правильный ожидаемый доход. Например, если бы мы открыли наш конверт и увидели, что в нем 100 евро, мы бы установили A = 100 в приведенной выше формуле, и ожидаемый доход в случае переключения будет:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {+100}{150}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {-50}{75}}=0}$

Асимметричный вариант Налебаффа [ править ]

Механизм, с помощью которого определяется количество двух конвертов, имеет решающее значение для решения игрока менять или нет свой конверт. ^{[9] [10]} Предположим, что суммы в двух конвертах A и B не были определены путем предварительной фиксации содержимого двух конвертов E1 и E2, а затем случайного присвоения им имен A и B (например, путем подбрасывания ярмарки). монета ^[11] ). Вместо этого мы начинаем с самого начала, помещая некоторую сумму в конверт A, а затем заполняем B способом, который зависит как от случайности (подбрасывание монеты), так и от того, что мы вложили в A. Предположим, что прежде всего сумма ав конверте A фиксируется тем или иным образом, а затем сумма в конверте B фиксируется, в зависимости от того, что уже находится в A, в соответствии с результатом честной монеты. Если монета упала орлом, то 2 a помещается в конверт B, если монета упала решкой, тогда a / 2 помещается в конверт B. Если игрок знал об этом механизме и знает, что он держит конверт A, но не знает результат подбрасывания монеты и не знает a , значит, аргумент переключения верен, и ему / ей рекомендуется поменять конверты. Эта версия проблемы была предложена Налебаффом (1988) и часто называется проблемой Али-Бабы. Обратите внимание, что нет необходимости смотреть в конверт A, чтобы решить, переключаться или нет.

Введено еще много вариантов задачи. Никерсон и Фальк систематически изучают в общей сложности 8. ^[11]

Байесовские резолюции [ править ]

В приведенном выше простом разрешении предполагается, что человек, который придумал аргумент для переключения, пытался вычислить математическое ожидание суммы в конверте A, считая две суммы в конвертах фиксированными ( x и 2 x ). Единственная неуверенность в том, какая огибающая имеет меньшее значение x . Однако многие математики и статистики интерпретируют этот аргумент как попытку вычислить ожидаемое количество в конверте B, учитывая реальное или гипотетическое количество «A» в конверте A. (Более того, математик предпочел бы использовать символ a для обозначения возможного значение, сохраняя символ Aдля случайной величины). Чтобы произвести расчет, не нужно заглядывать в конверт, чтобы увидеть, сколько там находится. Если результатом расчета является рекомендация поменять конверты, какая бы сумма там ни была, тогда может показаться, что нужно переключаться в любом случае, не глядя. В этом случае на этапах 6, 7 и 8 рассуждения «А» - это любое фиксированное возможное значение суммы денег в первом конверте.

Эта интерпретация проблемы двух огибающих появляется в первых публикациях, в которых парадокс был представлен в его современной форме, Gardner (1989) и Nalebuff (1989). Это распространено в более математической литературе по этой проблеме. Это также относится к модификации проблемы (которая, похоже, началась с Nalebuff), когда владелец конверта A действительно заглядывает в свой конверт, прежде чем решить, переключаться или нет; хотя Налебафф также подчеркивает, что нет необходимости, чтобы владелец конверта А заглядывал в свой конверт. Если он представит себе, что смотрит в него, и если на любую сумму, которую он может представить там, у него есть аргумент, чтобы переключиться, то он все равно решит переключиться. Наконец, эта интерпретация была также ядром более ранних версий проблемы двух огибающих (Littlewood's, Schrödinger's,и парадоксы переключения Крайчика); см. заключительный раздел, посвященный истории ТЭП.

Такой вид интерпретации часто называют «байесовским», потому что он предполагает, что автор также включает априорное распределение вероятностей возможных сумм денег в двух конвертах в аргументе переключения.

Простая форма байесовского разрешения [ править ]

Простое решение зависело от конкретной интерпретации того, что автор аргументации пытается вычислить: а именно, предполагалось, что он был после (безусловного) математического ожидания того, что находится в конверте B. В математической литературе по проблеме двух конвертов другая интерпретация более распространен, включая значение условного ожидания ( зависит от того, что может быть в конверте A). Для решения этой и связанных с ней интерпретаций или версий проблемы большинство авторов используют байесовскую интерпретацию.вероятности, что означает, что рассуждение о вероятности применяется не только к действительно случайным событиям, таким как случайный выбор конверта, но и к нашему знанию (или отсутствию знаний) о вещах, которые фиксированы, но неизвестны, например, о двух суммах, первоначально помещенных в два конверта, прежде чем один будет выбран наугад и назван «Конверт A». Более того, согласно давней традиции, восходящей, по крайней мере, к Лапласу и его принципу недостаточной причины, предполагается, что человек приписывает равные вероятности, когда вообще ничего не знает о возможных значениях некоторой величины. Таким образом, тот факт, что нам ничего не сообщают о том, как заполняются конверты, уже можно преобразовать в вероятностные утверждения об этих суммах. Отсутствие информации означает, что вероятности равны.

На шагах 6 и 7 аргумента переключения писатель воображает, что этот конверт A содержит определенное количество a , а затем, кажется, полагает, что, учитывая эту информацию, другой конверт с равной вероятностью будет содержать вдвое или половину этого количества. Это предположение может быть правильным только в том случае, если, прежде чем узнать, что находится в конверте A, автор рассмотрел бы следующие две пары значений для обоих конвертов равновероятными: суммы a / 2 и a ; и суммы a и 2 a . (Это следует из правила Байеса в форме шансов: апостериорные шансы равны предыдущим шансам, умноженным на отношение правдоподобия). Но теперь мы можем применить те же рассуждения, представив себе не a, а a / 2в конверте А. И аналогично для 2 а . И точно так же до бесконечности, многократно уменьшая вдвое или многократно удваивая сколько угодно раз. ^[12]

Предположим, в целях аргументации, мы начинаем с представления суммы 32 в конверте A. Для того чтобы рассуждения в шагах 6 и 7 были верными, какая бы сумма ни оказалась в конверте A, мы, очевидно, заранее полагаем, что все следующие десять сумм все с равной вероятностью будут меньшими из двух величин в двух конвертах: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 (равновероятные степени 2 ^[12]). Но переходя к еще большим или даже меньшим суммам, предположение о «равновероятности» начинает казаться немного необоснованным. Предположим, мы остановились на этих десяти равновероятных возможностях для меньшей суммы в двух конвертах. В этом случае рассуждения в шагах 6 и 7 были полностью правильными, если огибающая A содержала любую из величин 2, 4, ... 512: переключение огибающих дало бы ожидаемое (среднее) усиление в 25%. Если в конверте А оказалось значение 1, то ожидаемый выигрыш составляет 100%. Но если бы он содержал сумму 1024, были бы понесены огромные потери в размере 50% (довольно большой суммы). Это происходит только один раз из двадцати, но этого ровно достаточно, чтобы сбалансировать ожидаемый выигрыш в остальных 19 из 20 раз.

В качестве альтернативы мы действуем до бесконечности, но теперь мы работаем с довольно нелепым предположением, подразумевая, например, что бесконечно более вероятно, что сумма в конверте A будет меньше 1 и бесконечно более вероятно будет больше 1024, чем между этими двумя значениями. Это так называемое неправильное априорное распределение : исчисление вероятностей не работает; ожидаемые значения даже не определены. ^[12]

Многие авторы также указали, что если существует максимальная сумма, которую можно положить в конверт с меньшей суммой, то очень легко увидеть, что Шаг 6 не выполняется, поскольку, если игрок держит больше, чем максимальная сумма, которая может быть помещенные в «меньший» конверт, они должны удерживать конверт, содержащий большую сумму, и, таким образом, наверняка проиграют при переключении. Это может происходить не часто, но когда это происходит, тяжелые потери, которые несет игрок, означает, что в среднем нет преимущества при переключении. Некоторые авторы считают, что это решает все практические случаи проблемы. ^[13]

Но проблема также может быть решена математически, не предполагая максимальной суммы. Налебафф, ^[13] Кристенсен и Уттс, ^[14] Фальк и Конольд, ^[12] Блахман, Кристенсен и Уттс, ^[15] Никерсон и Фальк ^[11] указали, что если суммы денег в двух конвертах имеют надлежащие распределение вероятностей, представляющее предыдущие убеждения игрока относительно сумм денег в двух конвертах, тогда невозможно, чтобы какая бы ни была сумма A = a в первом конверте, в соответствии с этими предыдущими убеждениями было бы одинаково вероятно, что второе содержит в / 2 или 2 A . Таким образом, шаг 6 аргумента, который приводит квсегда переключается , не является продолжением, даже когда нет максимума сумм в конвертах.

Введение в дальнейшие разработки в связи с байесовской теорией вероятностей [ править ]

Первые два решения, обсуждавшиеся выше («простое разрешение» и «байесовское разрешение»), соответствуют двум возможным интерпретациям того, что происходит на шаге 6 аргументации. Оба они предполагают, что шаг 6 действительно является «плохим шагом». Но описание на шаге 6 неоднозначно. Следует ли автору после безусловного (общего) ожидаемого значения того, что находится в конверте B (возможно, при условии меньшего количества, x ), или он после условного ожидания того, что находится в конверте B, с учетом любой возможной суммы a, которая может быть в конверте А? Таким образом, есть две основные интерпретации замысла композитора парадоксального аргумента в пользу переключения и две основные резолюции.

По вариантам проблемы возникла большая литература. ^{[16] [17]} Стандартное предположение о способе установки конвертов состоит в том, что в одном конверте находится сумма денег, а в другом - вдвое больше. Один из двух конвертов случайным образом выдается игроку ( конверт A ). Первоначально предложенная проблема не проясняет, как именно определяется меньшая из двух сумм, какие значения она может принимать и, в частности, есть ли минимальная или максимальная сумма, которую она может содержать. ^{[18] [19]}Однако, если мы используем байесовскую интерпретацию вероятности, то мы начинаем с выражения наших прежних убеждений относительно меньшего количества в двух конвертах через распределение вероятностей. Недостаток знаний также можно выразить в терминах вероятности.

Первый вариант в байесовской версии состоит в том, чтобы предложить правильное априорное распределение вероятности меньшей суммы денег в двух конвертах, так что при правильном выполнении шага 6 совет все же должен отдавать предпочтение конверту B, что бы ни было в конверте. Конверт A. Таким образом, хотя конкретное вычисление, выполненное на шаге 6, было неверным (нет надлежащего предварительного распределения, так что, учитывая то, что находится в первом конверте A, другой конверт всегда с равной вероятностью будет больше или меньше), правильное вычисление, в зависимости от того, что мы используем, приводит к результату для всех возможных значений a . ^[20]${\displaystyle E(B|A=a)>a}$

В этих случаях можно показать, что ожидаемая сумма в обоих конвертах бесконечна. В среднем нет никакой выгоды от свопинга.

Второй математический вариант [ править ]

Хотя байесовская теория вероятностей может разрешить первую математическую интерпретацию вышеупомянутого парадокса, оказывается, что можно найти примеры правильных распределений вероятностей, так что ожидаемое значение суммы во втором конверте с учетом того, что в первом действительно превышает сумму в первый, каким бы он ни был. Первый такой пример уже привел Налебафф. ^[13] См. Также Christensen and Utts (1992). ^{[14] [21] [22] [23]}

Обозначим снова сумма денег в первом конверте А и что во втором по B . Мы думаем об этом как о случайном. Пусть X будет меньшей из двух величин, а Y = 2X будет большей. Обратите внимание , что , как только мы зафиксировали распределение вероятностей для X тогда совместное распределение вероятностей из A, B фиксируется, так как A, B = X, Y или Y, X каждый с вероятностью 1/2, независимо от X, Y .

Плохой шаг 6 в «всегда коммутационного» аргумент привел нас к ознакомительной E (B | A = а)> а для всех а , следовательно , и к рекомендации коммутаторе, или не знаю , что мы . Теперь выясняется, что можно довольно легко изобрести правильные распределения вероятностей для X , меньшей из двух сумм денег, так что этот плохой вывод все еще остается верным. Один пример будет проанализирован более подробно ниже.

Как упоминалось ранее, не может быть правдой, что независимо от a при A = a , B с равной вероятностью будет a / 2 или 2 a , но может быть верно, что независимо от a , при A = a , B больше по ожидаемому значению. чем а .

Предположим, например, что конверт с меньшей суммой фактически содержит 2 ⁿ долларов с вероятностью 2 ⁿ / 3 ^{n +1,} где n = 0, 1, 2,… Сумма этих вероятностей равна 1, следовательно, распределение является правильным априорным (для субъективистов ) и вполне приличный вероятностный закон также для частотников. ^[24]

Представьте, что может быть в первом конверте. Разумной стратегией, безусловно, было бы поменять местами, когда первый конверт содержит 1, тогда как другой должен содержать 2. Предположим, с другой стороны, первый конверт содержит 2. В этом случае есть две возможности: пара конвертов перед нами - это либо {1, 2}, либо {2, 4}. Все остальные пары невозможны. Условная вероятность того, что мы имеем дело с {1, 2} парами, при условии , что первый конверт содержит 2,

${\displaystyle {\begin{aligned}P(\{1,2\}\mid 2)&={\frac {P(\{1,2\})/2}{P(\{1,2\})/2+P(\{2,4\})/2}}\\&={\frac {P(\{1,2\})}{P(\{1,2\})+P(\{2,4\})}}\\&={\frac {1/3}{1/3+2/9}}=3/5,\end{aligned}}}$

и, следовательно, вероятность того, что это пара {2, 4}, равна 2/5, поскольку это единственные две возможности. В этом выводе - вероятность того, что пара огибающих - это пара 1 и 2, а конверт A содержит 2; - это вероятность того, что пара конвертов - это пара 2 и 4, и (опять же) конверт A содержит 2. Это единственные два способа, которыми конверт A может в конечном итоге содержать сумму 2.${\displaystyle P(\{1,2\})/2}$${\displaystyle P(\{2,4\})/2}$

Оказывается, что эти пропорции, в общем, сохраняются, если первый конверт не содержит 1. Обозначим через a сумму, которую мы воображаем найти в конверте A, если бы мы открыли этот конверт, и предположим, что a = 2 ⁿ для некоторого n ≥ 1. В в этом случае другой конверт содержит a / 2 с вероятностью 3/5 и 2 a с вероятностью 2/5.

Таким образом , либо первый конверт содержит 1, и в этом случае условная ожидаемая сумма в другой оболочке 2, или первый конверт содержит в > 1, и , хотя второй конверт, скорее всего, будет меньше , чем больше, его условно ожидается , сумма больше: условно ожидаемая сумма в конверте B составляет

${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\frac {a}{2}}+{\frac {2}{5}}2a={\frac {11}{10}}a}$

который больше , чем . Это означает, что игрок, который смотрит в конверт A, решает поменять местами все, что он там видит. Следовательно, нет необходимости заглядывать в конверт А, чтобы принять это решение.

Этот вывод так же явно неверен, как и в предыдущих интерпретациях проблемы двух конвертов. Но теперь отмеченные выше недостатки не действуют; при расчете ожидаемого значения является постоянным и условные вероятности в формуле получаются из определенного и правильного предварительного распределения.

Предлагаемые решения с помощью математической экономики [ править ]

Большинство авторов думают, что новый парадокс можно разрешить, хотя разрешение требует концепций из математической экономики. ^[25] Предположим, что для всех a . Можно показать, что это возможно для некоторых распределений вероятностей X (меньшая сумма денег в двух конвертах), только если . То есть, только если среднее значение всех возможных значений денег в конвертах бесконечно. Чтобы понять, почему, сравните серию, описанную выше, в которой вероятность каждого X составляет 2/3 вероятности предыдущего X, с серией, в которой вероятность каждого X только 1/3 вероятности предыдущего X${\displaystyle E(B|A=a)>a}$${\displaystyle E(X)=\infty }$. Когда вероятность каждого последующего члена больше половины вероятности предыдущего члена (и каждый X вдвое больше, чем X перед ним), среднее значение бесконечно, но когда коэффициент вероятности меньше половины , среднее сходится. В тех случаях , когда коэффициент вероятности составляет менее половины, для всех , кроме первого, наименьшего а${\displaystyle E(B|A=a)<a}$, а общее ожидаемое значение переключения сходится к 0. Кроме того, если текущее распределение с коэффициентом вероятности больше половины становится конечным путем, после любого количества членов, устанавливая окончательный член со «всей оставшейся вероятностью, "то есть 1 минус вероятность всех предыдущих условий, ожидаемое значение переключения относительно вероятности того, что A равно последнему, наибольшее значение a будет в точности отрицать сумму положительных ожидаемых значений, которые были получены ранее, и снова общее ожидаемое значение переключения падает до 0 (это общий случай установления равной вероятности конечного набора значений в конвертах, описанных выше). Таким образом, единственные распределения, которые, кажется, указывают на положительное ожидаемое значение переключения, - это те, в которых${\displaystyle E(X)=\infty }$. Усредняя по a , следует, что (поскольку A и B имеют идентичные распределения вероятностей в силу симметрии, и оба A и B больше или равны X ).${\displaystyle E(B)=E(A)=\infty }$

Если мы не заглянем в первый конверт, то очевидно, что нет причин для перехода, поскольку мы бы обменивали одну неизвестную сумму денег ( A ), ожидаемая стоимость которой бесконечна, на другую неизвестную сумму денег ( B ), с тем же распределением вероятностей и бесконечным математическим ожиданием. Однако, если мы посмотрим на первый конверт, то для всех наблюдаемых значений ( ) мы захотим переключиться, потому что для всех a . Как заметил Дэвид Чалмерс , эту проблему можно описать как отказ от рассуждения о доминировании. ^[26]${\displaystyle A=a}$${\displaystyle E(B|A=a)>a}$

Под доминантности рассуждения, тот факт , что мы строго предпочитаем А к В для всех возможных наблюдаемых значений должно означать , что мы строго предпочитаем А к B без соблюдения ; однако, как уже было показано, это не так, потому что . Чтобы спасти рассуждение о преобладании при разрешении , нужно было бы заменить математическое ожидание в качестве критерия принятия решения, тем самым используя более изощренный аргумент из математической экономики.${\displaystyle E(B)=E(A)=\infty }$${\displaystyle E(B)=E(A)=\infty }$

Например, мы могли бы предположить, что лицо, принимающее решение, является максимизатором ожидаемой полезности с начальным богатством W , функция полезности которого выбрана так, чтобы удовлетворять по крайней мере для некоторых значений a (то есть, удержание на удержании строго предпочтительнее, чем переключение на B для некоторых значений a. ). Хотя это верно не для всех функций полезности, это было бы верно, если бы была верхняя граница , когда w увеличивалось до бесконечности (обычное предположение в математической экономике и теории принятия решений). ^[27] Майкл Р. Пауэрс${\displaystyle u(w)}$${\displaystyle E(u(W+B)|A=a)<u(W+a)}$${\displaystyle A=a}$${\displaystyle u(w)}$${\displaystyle \beta <\infty }$ предоставляет необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция полезности разрешила парадокс, и отмечает, что ни то, ни другое не требуется. ^[28]${\displaystyle u(w)<\beta }$${\displaystyle E(u(W+A))=E(u(W+B))<\infty }$

Некоторые авторы предпочли бы утверждать, что в реальной ситуации и ограничены просто потому, что сумма денег в конверте ограничена общей суммой денег в мире ( M ), подразумевая и . С этой точки зрения второй парадокс разрешается, поскольку постулируемое распределение вероятностей для X (с ) не может возникнуть в реальной ситуации. Подобные аргументы часто используются для разрешения петербургского парадокса .${\displaystyle u(W+A)}$${\displaystyle u(W+B)}$${\displaystyle u(W+A)\leq u(W+M)}$${\displaystyle u(W+B)\leq u(W+M)}$${\displaystyle E(X)=\infty }$

Споры среди философов [ править ]

Как упоминалось выше, любое распределение, порождающее этот вариант парадокса, должно иметь бесконечное среднее значение. Таким образом, до того, как игрок откроет конверт, ожидаемый выигрыш от переключения будет «∞ - ∞», что не определено. По словам Дэвида Чалмерса , это «еще один пример знакомого явления, странного поведения бесконечности». ^[26] Чалмерс предполагает, что теория принятия решений обычно терпит неудачу при столкновении с играми с расходящимися ожиданиями, и сравнивает это с ситуацией, порожденной классическим парадоксом Санкт-Петербурга .

Однако Кларк и Шакель утверждают, что обвинение всего в «странном поведении бесконечности» вовсе не разрешает парадокса; ни в единичном случае, ни в усредненном. Они представляют собой простой пример пары случайных величин, обе имеют бесконечное среднее, но при этом явно разумно предпочесть одну другую, как условно, так и в среднем. ^[29] Они утверждают, что теорию принятия решений следует расширить, чтобы в некоторых ситуациях допускались бесконечные значения математического ожидания.

Невероятностный вариант Смулляна [ править ]

Логик Раймонд Смоллян задался вопросом, имеет ли парадокс какое-либо отношение к вероятностям вообще. ^[30] Он сделал это, выразив проблему таким образом, чтобы не включать вероятностей. Следующие логические аргументы приводят к противоречивым выводам:

1. Пусть сумма в конверте выбранного игроком быть . Обменявшись местами, игрок может получить A или потерять A / 2. Таким образом, потенциальная выгода строго превышает потенциальную потерю.
2. Пусть суммы в конвертах будет X и 2 X . Теперь с помощью свопинга, игрок может получить X или потеряют X . Таким образом, потенциальный выигрыш равен потенциальным потерям.

Предлагаемые решения [ править ]

Предложен ряд решений. Некоторые логики провели тщательный анализ. Хотя решения различаются, все они указывают на семантические проблемы, связанные с контрфактическими рассуждениями. Мы хотим сравнить сумму, которую мы получили бы от переключения, если бы мы выиграли от переключения, с суммой, которую мы потеряли бы, переключившись, если бы мы действительно проиграли от переключения. Однако, переключаясь одновременно, мы не можем ни выиграть, ни проиграть. Нас просят сравнить две несовместимые ситуации. Только одна из них может иметь место на самом деле, другая - контрфактическая ситуация, в некотором роде воображаемая. Чтобы вообще их сравнить, мы должны каким-то образом «согласовать» две ситуации, выявив некоторые общие точки.

Джеймс Чейз утверждает, что второй аргумент верен, потому что он действительно соответствует способу согласования двух ситуаций (в одной мы выигрываем, а в другой проигрываем), на что предпочтительно указывает описание проблемы. ^[31] Также эту точку зрения аргументируют Бернард Кац и Дорис Олин. ^[32] Во втором аргументе мы считаем суммы денег в двух конвертах фиксированными; что меняется, так это то, какой из них первым дается игроку. Поскольку это был произвольный и физический выбор, контрфактический мирв котором игрок, контрфактически, получил другую оболочку к той, которая ему фактически (фактически) была дана, представляет собой очень значимый контрфактический мир, и, следовательно, сравнение между выигрышем и проигрышем в двух мирах имеет смысл. На это сравнение однозначно указывает описание задачи, в котором сначала в два конверта кладутся две суммы денег, и только после этого одна произвольно выбирается и передается игроку. Однако в первом аргументе мы рассматриваем сумму денег в конверте, который первым передается игроку, как фиксированное, и рассматриваем ситуации, когда второй конверт содержит половину или вдвое больше этой суммы. Это был бы разумный контрфактический мир, только если бы на самом деле конверты были заполнены следующим образом: во-первых, некоторая сумма денег помещается в конкретный конверт, который будет передан игроку;и, во-вторых, посредством некоторого произвольного процесса другой конверт заполняется (произвольно или случайным образом) либо двойной, либо половиной этой суммы денег.

Пён-Ук Йи, с другой стороны, утверждает, что сравнение суммы, которую вы получили бы, если бы вы выиграли, переключившись, с суммой, которую вы бы потеряли, если бы проиграли, переключившись, с самого начала является бессмысленным упражнением. ^[33]Согласно его анализу, все три импликации (переключение, безразличие, не переключение) неверны. Он подробно анализирует аргументы Смулляна, показывая, что предпринимаются промежуточные шаги, и точно определяет, где делается неправильный вывод, в соответствии с его формализацией контрфактического вывода. Важное отличие от анализа Чейза состоит в том, что он не принимает во внимание ту часть истории, где нам говорят, что конверт под названием Конверт А определяется совершенно случайно. Таким образом, Чейз возвращает вероятность в описание проблемы, чтобы сделать вывод, что аргументы 1 и 3 неверны, аргумент 2 верен, в то время как Yi сохраняет «проблему двух огибающих без вероятности» полностью свободной от вероятности и приходит к выводу, что существуют нет причин предпочесть какие-либо действия.Это соответствует точке зрения Альберса и др., Что без вероятностного ингредиента невозможно утверждать, что одно действие в любом случае лучше другого.

Блисс утверждает, что источник парадокса состоит в том, что, когда кто-то ошибочно верит в возможность большего выигрыша, которого на самом деле не существует, он ошибается с большим запасом, чем когда кто-то верит в возможность меньшего выигрыша, который дает на самом деле не существует. ^[34] Если, например, конверты содержали 5 долларов и 10 долларов соответственно, игрок, открывший конверт в 10 долларов, ожидал бы возможности выплаты 20 долларов, которых просто не существует. Если бы этот игрок вместо этого открыл конверт с 5 долларами, он поверил бы в возможность выплаты 2,50 долларов, что составляет меньшее отклонение от истинного значения; это приводит к парадоксальному противоречию.

Альберс, Куи и Шаафсма считают, что без добавления вероятностных (или других) ингредиентов к проблеме ^[17] аргументы Смулляна не дают никаких оснований менять местами или не менять местами в любом случае. Таким образом, нет никакого парадокса. Такое пренебрежительное отношение распространено среди авторов теории вероятностей и экономики: парадокс Смулляна возникает именно потому, что он не принимает во внимание вероятность или полезность.

Условное переключение [ править ]

В качестве расширения проблемы рассмотрим случай, когда игроку разрешено заглядывать в конверт A, прежде чем решить, следует ли переключаться. В этой проблеме «условного переключения» часто можно получить выигрыш по сравнению со стратегией «никогда не переключаться», в зависимости от распределения вероятностей огибающих ^[35].

История парадокса [ править ]

Парадокс конверта восходит как минимум к 1953 году, когда бельгийский математик Морис Крайчик в своей книге « Развлекательная математика» предложил загадку о двух одинаково богатых мужчинах, которые встречаются и сравнивают свои красивые галстуки, подарки от своих жен, гадая, какой галстук на самом деле стоит больше денег. Он также предлагает вариант, в котором двое мужчин сравнивают содержимое своих кошельков. Он предполагает, что каждый кошелек с одинаковой вероятностью может содержать от 1 до некоторого большого числа x.пенни, общее количество монет, отчеканенных на сегодняшний день. Мужчины не заглядывают в свои кошельки, но у каждого есть причины, по которым они должны поменяться. Он не объясняет, в чем ошибка в их рассуждениях. Неясно, появлялась ли эта головоломка в более раннем издании его книги 1942 года. Он также упоминается в книге 1953 года по элементарной математике и математическим головоломкам математика Джона Эденсора Литтлвуда , который приписал его физику Эрвину Шредингеру , где это касается колоды карт, на каждой карте написано два числа, игрок получает чтобы увидеть случайную сторону случайной карты, и вопрос в том, следует ли переворачивать карту. Колода карт Литтлвуда бесконечно велика, и его парадокс - это парадокс неправильного предварительного распределения.

Мартин Гарднер популяризировал загадку Крайчика в своей книге 1982 года Ага! Попался , в виде кошелька:

Два человека, одинаково богатых, встречаются, чтобы сравнить содержимое своих кошельков. Каждый не знает содержимого двух кошельков. Игра такова: тот, у кого меньше всего денег, получает содержимое кошелька другого (в случае равных сумм ничего не происходит). Один из двух мужчин может рассуждать: «У меня в кошельке есть сумма А. Это максимум, что я могу проиграть. Если я выиграю (вероятность 0,5), то сумма, которая будет у меня в конце игры. будет больше 2 А. Поэтому игра мне выгодна ». Другой мужчина может рассуждать точно так же. На самом деле, по симметрии игра честная. В чем ошибка в рассуждениях каждого человека?

Гарднер признался, что, хотя, как и Крайчик, он мог дать здравый анализ, ведущий к правильному ответу (нет смысла переключаться), он не мог четко указать, что было не так с обоснованием для переключения, и Крайчик не дал никакой помощи в этом направлении тоже.

В 1988 и 1989 годах Барри Нейлбафф представил две разные задачи с двумя конвертами, в каждой из которых одна огибающая содержала вдвое больше, чем в другой, и каждая с вычислением математического ожидания 5 A / 4. В первой статье представлены только две проблемы. Во втором обсуждаются многие решения для них обоих. Вторая из двух его проблем в настоящее время является наиболее распространенной и представлена ​​в этой статье. Согласно этой версии, сначала заполняются два конверта, затем один случайным образом выбирается и называется Конверт A. Мартин Гарднер независимо упомянул ту же версию в своей книге 1989 года Плитки Пенроуза к секретным шифровкам и возвращению доктора Матрицы.. В асимметричном варианте Барри Налебаффа, часто известном как проблема Али-Бабы, сначала заполняется один конверт, который называется Envelope A, и передается Али. Затем подбрасывается честная монета, чтобы решить, должен ли конверт B содержать половину или вдвое больше, и только после этого отдается Бабе.

Брум в 1995 г. назвал распределение вероятностей «парадоксальным», если для любой заданной суммы x первого конверта ожидание другого конверта, обусловленного x , больше, чем x . В литературе есть десятки комментариев к проблеме, в большинстве из которых отмечается, что распределение конечных значений может иметь бесконечное математическое ожидание. ^[36]

См. Также [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]