Спираль Улама

Спираль Улама размером 200 × 200. Черные точки представляют собой простые числа. Хорошо видны диагональные, вертикальные и горизонтальные линии с высокой плотностью простых чисел.

Для сравнения, спираль со случайными нечетными числами окрашена в черный цвет (при той же плотности простых чисел в спирали 200x200).

Улама спираль или премьер - спираль представляет собой графическое изображение множества простых чисел , разработанный математик Станислав Улама в 1963 году и популяризировал в Мартине Гарднер математических игр колонок в журнале Scientific American спустя короткое время. ^[1] Он состоит из записи положительных целых чисел по квадратной спирали и специальной пометки простых чисел.

Улам и Гарднер подчеркнули поразительное появление в спирали выдающихся диагональных, горизонтальных и вертикальных линий, содержащих большое количество простых чисел. И Улам, и Гарднер отметили, что существование таких выдающихся линий не является неожиданным, поскольку линии спирали соответствуют квадратичным многочленам , а некоторые такие многочлены, такие как порождающий простые числа многочлены Эйлера x ²  -  x  + 41, как полагают, производят высокая плотность простых чисел. ^{[2] [3]} Тем не менее, спираль Улама связана с основными нерешенными проблемами теории чисел, такими как проблемы Ландау.. В частности, никогда не было доказано, что никакой квадратичный многочлен порождает бесконечно много простых чисел, не говоря уже о том, чтобы иметь их высокую асимптотическую плотность, хотя есть хорошо обоснованная гипотеза относительно того, какой должна быть эта асимптотическая плотность.

В 1932 году, более чем за тридцать лет до открытия Улама, герпетолог Лоуренс Клаубер построил треугольный, не спиральный массив, состоящий из вертикальных и диагональных линий, демонстрирующих одинаковую концентрацию простых чисел. Как и Улам, Клаубер отметил связь с многочленами, порождающими простые числа, такими как полиномы Эйлера. ^[4]

Строительство [ править ]

Спираль Улама создается путем записи положительных целых чисел в виде спирали на квадратной решетке :

а затем отметить простые числа:

На рисунке простые штрихи концентрируются вдоль определенных диагональных линий. На спирали Улама 200 × 200, показанной выше, четко видны диагональные линии, подтверждающие, что узор продолжается. Горизонтальные и вертикальные линии с высокой плотностью штрихов, хотя и менее заметны, также видны. Чаще всего числовая спираль начинается с числа 1 в центре, но можно начать и с любого числа, и наблюдается одинаковая концентрация простых чисел вдоль диагональных, горизонтальных и вертикальных линий. Начало с 41 в центре дает диагональ, содержащую непрерывную строку из 40 простых чисел (начиная с 1523 к юго-западу от начала координат, уменьшаясь до 41 в начале координат и увеличиваясь до 1601 к северо-востоку от начала координат), самый длинный пример в своем роде. ^[5]

История [ править ]

По словам Гарднера, Улам обнаружил спираль в 1963 году, когда рисовал во время презентации «длинной и очень скучной статьи» на научном собрании. ^[1] Эти ручные вычисления составили «несколько сотен баллов». Вскоре после этого Улам с соавторами Майроном Стейном и Марком Уэллсом использовали MANIAC II в Научной лаборатории Лос-Аламоса, чтобы расширить вычисление примерно до 100 000 точек. Группа также вычислила плотность простых чисел среди чисел до 10 000 000 по некоторым линиям с богатыми простыми числами, а также по некоторым линиям с низким числом простых чисел. Изображения спирали до 65 000 точек были показаны на «телескопе, прикрепленном к машине», а затем сфотографированы. ^[6] Спираль Улама описана у Мартина Гарднера.s Март 1964 г.Колонка « Математические игры» в журнале Scientific American и размещена на обложке этого выпуска. Некоторые фотографии Штейна, Улама и Уэллса были воспроизведены в колонке.

В дополнении к колонке Scientific American Гарднер упомянул более раннюю работу Клаубера. ^{[7] [8]} Клаубер описывает свою конструкцию следующим образом: «Целые числа расположены в треугольном порядке с 1 в вершине, вторая строка содержит числа от 2 до 4, третья от 5 до 9 и т. Д. Когда простые числа имеют Как было указано, обнаружено, что существуют концентрации в определенных вертикальных и диагональных линиях, и среди них обнаружены так называемые последовательности Эйлера с высокими концентрациями простых чисел ". ^[4]

Объяснение [ править ]

Диагональные, горизонтальные и вертикальные линии числовой спирали соответствуют многочленам вида

${\ displaystyle f (n) = 4n ^ {2} + bn + c}$

где b и c - целые константы. Когда b четно, линии диагональны, и либо все числа нечетные, либо все четные, в зависимости от значения c . Поэтому неудивительно, что все простые числа, кроме 2, лежат на чередующихся диагоналях спирали Улама. Некоторые полиномы, например , производя только нечетные значения, разлагаются на целые числа и поэтому никогда не являются простыми, за исключением случаев, когда один из множителей равен 1. Такие примеры соответствуют диагоналям, которые лишены простых чисел или почти таковы.${\ displaystyle 4n ^ {2} + 8n + 3}$${\ Displaystyle (4n ^ {2} + 8n + 3 = (2n + 1) (2n + 3))}$

Чтобы понять, почему некоторые из оставшихся нечетных диагоналей могут иметь более высокую концентрацию простых чисел, чем другие, рассмотрим и . Вычислить остатки от деления на 3 как n${\ displaystyle 4n ^ {2} + 6n + 1}$${\ displaystyle 4n ^ {2} + 6n + 5}$принимает последовательные значения 0, 1, 2, .... Для первого из этих многочленов последовательность остатков равна 1, 2, 2, 1, 2, 2, ..., а для второго - 2, 0, 0, 2, 0, 0, .... Это означает, что в последовательности значений, взятых вторым многочленом, два из каждых трех делятся на 3 и, следовательно, определенно не являются простыми, в то время как в последовательности значений взятые первым многочленом, ни один из них не делится на 3. Таким образом, кажется правдоподобным, что первый многочлен даст значения с более высокой плотностью простых чисел, чем второй. По крайней мере, это наблюдение дает мало оснований полагать, что соответствующие диагонали будут одинаково плотными с простыми числами. Конечно, следует учитывать делимость на простые числа, отличные от 3. Рассматривая делимость на 5, остатки при делении на 15 повторяются по образцу 1, 11, 14, 10, 14, 11, 1,14, 5, 4, 11, 11, 4, 5, 14 для первого многочлена и с шаблоном 5, 0, 3, 14, 3, 0, 5, 3, 9, 8, 0, 0, 8, 9 , 3 для второй, что означает, что только три из 15 значений во второй последовательности потенциально являются простыми (не делятся ни на 3, ни на 5), в то время как 12 из 15 значений в первой последовательности потенциально являются простыми (поскольку только три являются делимыми на 5 и ни одно не делится на 3).

Хотя строго доказанных результатов о простых числах в квадратичных последовательностях мало, соображения, подобные приведенным выше, приводят к правдоподобной гипотезе об асимптотической плотности простых чисел в таких последовательностях, которая описывается в следующем разделе.

Гипотеза Харди и Литтлвуда F [ править ]

В своем 1923 документ о Гольдбаха гипотезой , Харди и Литтлвуда высказал ряд догадок, один из которых, если это правда, могли бы объяснить некоторые из поразительных особенностей спирали Улама. Эта гипотеза, которую Харди и Литтлвуд назвали «гипотезой F», является частным случаем гипотезы Бейтмана – Хорна и утверждает асимптотическую формулу для числа простых чисел вида ax ²  +  bx  +  c . Лучи, исходящие из центральной области спирали Улама, образующие углы 45 ° с горизонтом и вертикалью, соответствуют числам в форме 4 x ²  +  bx  +  c сб даже; горизонтальные и вертикальные лучи соответствуют числам одной формы с нечетным b . Гипотеза F дает формулу, которую можно использовать для оценки плотности простых чисел вдоль таких лучей. Это означает, что будет значительная изменчивость плотности вдоль разных лучей. В частности, плотность очень чувствительна к дискриминанту полинома b ²  - 16 c .

Гипотеза F касается многочленов вида ax ²  +  bx  +  c, где a , b и c - целые числа, а a - положительное число. Если коэффициенты содержат общий множитель больше 1 или если дискриминант Δ =  b ²  - 4 ac является полным квадратом , многочлен факторизуется и, следовательно, производит составные числа, поскольку x принимает значения 0, 1, 2, ... (кроме возможно для одного или двух значений x, когда один из множителей равен 1). Более того, если a  +  bи c являются четными, многочлен производит только четные значения и поэтому является составным, за исключением, возможно, значения 2. Харди и Литтлвуд утверждают, что, помимо этих ситуаций, ax ²  +  bx  +  c принимает простые значения бесконечно часто, поскольку x принимает значения 0, 1, 2, ... Это утверждение является частным случаем более ранней гипотезы Буняковского и остается открытым. Харди и Литтлвуд далее утверждают, что асимптотически количество P ( n ) простых чисел вида ax ²  +  bx  +  c и меньше n определяется выражением

${\ displaystyle P (n) \ sim A {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} {\ frac {\ sqrt {n}} {\ log n}}}$

где A зависит от a , b и c, но не от n . По теореме о простых числах эта формула с набором A, равным единице, является асимптотическим числом простых чисел меньше n, ожидаемых в случайном наборе чисел, имеющем ту же плотность, что и набор чисел формы ax ²  +  bx  +  c . Но поскольку A может принимать значения больше или меньше единицы, некоторые многочлены, согласно гипотезе, будут особенно богаты простыми числами, а другие - особенно бедными. Необычно богатый многочлен: 4 x ²  - 2 x + 41, образующий видимую линию в спирали Улама. Согласно гипотезе, константа A для этого многочлена равна примерно 6,6, а это означает, что числа, которые он генерирует, почти в семь раз чаще будут простыми, чем случайные числа сопоставимого размера. Этот конкретный многочлен связан с многочленом Эйлера x ²  -  x  + 41, порождающим простые числа , заменой x на 2 x или, что эквивалентно, ограничением x четными числами. Константа A определяется произведением всех простых чисел,

${\ displaystyle A = \ prod \ limits _ {p} {\ frac {p- \ omega (p)} {p-1}} ~}$,

где - количество нулей квадратичного многочлена по модулю p и, следовательно, принимает одно из значений 0, 1 или 2. Харди и Литтлвуд разбивают произведение на три фактора:${\ displaystyle \ omega (p)}$

${\displaystyle A=\varepsilon \prod _{p}{\biggl (}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}\,\prod _{\varpi }{\biggl (}1-{\frac {1}{\varpi -1}}{\Bigl (}{\frac {\Delta }{\varpi }}{\Bigr )}{\biggr )}}$.

Здесь множитель ε, соответствующий простому числу 2, равен 1, если a  +  b нечетно, и 2, если a  +  b четно. Первый индекс продукта p пробегает конечное число нечетных простых чисел, делящих как a, так и b . Для этих простых чисел, поскольку p не может делить c . Второй индекс продукта пробегает бесконечно много нечетных простых чисел, не делящих a . Для этих простых чисел равно 1, 2 или 0 в зависимости от того, является ли дискриминант 0, ненулевым квадратом или неквадратом по модулю p . Это объясняется использованием символа Лежандра.${\displaystyle \omega (p)=0}$${\displaystyle \varpi }$${\displaystyle \omega (p)}$, . Когда простое число p делит a, но не b, существует один корень по модулю p . Следовательно, такие простые числа не влияют на продукт.${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{\varpi }}\right)}$

Квадратичный многочлен с A ≈ 11,3, в настоящее время самым высоким известным значением, был открыт Якобсоном и Уильямсом. ^{[9] [10]}

Варианты [ править ]

В статье Клаубера 1932 года описан треугольник, в строке n которого содержатся числа от ( n   - 1) ²  + 1 до n ² . Как и в спирали Улама, квадратичные многочлены порождают числа, расположенные прямыми линиями. Вертикальные линии соответствуют номерам вида к ²  -  K  +  M . На рисунке видны вертикальные и диагональные линии с высокой плотностью простых чисел.

Роберт Сакс разработал вариант спирали Улама в 1994 году. В спирали Сакса неотрицательные целые числа нанесены на спираль Архимеда, а не на квадратную спираль, которую использовал Улам, и расположены так, что при каждом полном вращении возникает один идеальный квадрат. . (В спирали Улама два квадрата встречаются в каждом повороте.) Полином Эйлера, порождающий простые числа, x ²  -  x  + 41, теперь выглядит как одна кривая, поскольку x принимает значения 0, 1, 2, ... Эта кривая асимптотически приближается к горизонтальной линии в левой половине рисунка. (В спирали Улама многочлен Эйлера образует две диагональные линии, одна в верхней половине рисунка, соответствующая четным значениям xв последовательности, другой в нижней половине рисунка, соответствующий нечетным значениям x в последовательности.)

Дополнительную структуру можно увидеть, когда составные числа также включены в спираль Улама. Число 1 имеет только один фактор, само по себе; каждое простое число имеет два делителя: само себя и 1; составные числа делятся как минимум на три различных фактора. Использование размера точки, представляющей целое число, для обозначения количества факторов и окраски простых чисел в красный цвет и составных чисел в синий цвет, позволяет получить показанный рисунок.

Спирали, следующие за другими мозаиками плоскости, также образуют линии, богатые простыми числами, например гексагональные спирали.

• Выделен треугольник Клаубера с простыми числами, порожденными многочленом Эйлера x ²   -   x   + 41.

• Мешки спиральные.

• Спираль Улама размером 150 × 150, показывающая как простые, так и составные числа.

• Гексагональная числовая спираль с простыми числами зеленого цвета и более сложными числами темных оттенков синего.

• Числовая спираль с 7503 простыми числами на правильном треугольнике.

См. Также [ править ]

• Распознавание образов
• Простой набор из k

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме спирали Улама .