Обозначение вектора | |
---|---|
| |
|
В математике и физике , векторные обозначения являются широко используемыми обозначениями для представления векторов , [1] [2] , которые могут быть геометрическими векторами , или, в более общем случае , членами из в векторном пространстве .
Для представления вектора общепринятое типографское соглашение - строчные буквы, прямой жирный шрифт, как в v . [3] Международная организация по стандартизации (ИСО) рекомендует либо жирные курсив засечки, как и в V , или не жирный курсив засечек подчеркнутого стрелки вправо, как и в . [4]
В высшей математике векторы часто представлены простым курсивом, как и любые другие переменные .
История [ править ]
Концепция вектора была придумана В. Р. Гамильтоном около 1843 года, когда он открыл кватернионы , систему, которая использует векторы и скаляры для охвата четырехмерного пространства. Для кватерниона q = a + b i + c j + d k Гамильтон использовал две проекции: S q = a , для скалярной части q , и V q = b i + c j + d k, векторной части. Используя современные термины перекрестное произведение (×) и скалярное произведение (.),кватернионное произведение двух векторов p и q можно записать как pq = - p . д + р × д . В 1878 году В.К. Клиффорд разделил эти два продукта, чтобы сделать операцию кватерниона полезной для студентов в своем учебнике « Элементы динамики» . Читая лекции в Йельском университете , Джозия Уиллард Гиббс предоставил обозначения для скалярного произведения и векторных произведений , которые были введены в векторном анализе . [5]
В 1891 году Оливер Хевисайд утверждал, что Кларендон должен отличать векторы от скаляров. Он критиковал использование греческих букв Тайтом и готическими буквами Максвелла. [6]
В 1912 году Дж. Б. Шоу опубликовал свою «Сравнительную нотацию для векторных выражений» в Бюллетене Общества кватерниона . [7] Впоследствии Александр Макфарлейн описал 15 критериев четкой экспрессии с векторами в той же публикации. [8]
Идеи вектора были выдвинуты Германом Грассманном в 1841 году, а затем в 1862 году на немецком языке . Но немецких математиков не так увлекали кватернионы, как англоязычных математиков. Когда Феликс Кляйн организовывал немецкую математическую энциклопедию , он поручил Арнольду Зоммерфельду стандартизировать векторные обозначения. [9] В 1950 году, когда Academic Press опубликовала перевод второго издания тома 2 Лекций Зоммерфельда по теоретической физике, сделанный Г. Куерти , векторные обозначения были предметом сноски: «В оригинальном немецком тексте векторы иих компоненты напечатаны теми же готическими шрифтами. Для этого перевода был принят более обычный способ проведения типографских различий между ними » [10].
Прямоугольные векторы [ править ]
Прямоугольный вектор - это вектор координат, определяемый компонентами, которые определяют прямоугольник (или прямоугольную призму в трех измерениях, и аналогичные формы в больших измерениях). Начальная и конечная точки вектора лежат на противоположных концах прямоугольника (или призмы и т. Д.).
Обозначение упорядоченного множества [ править ]
Прямоугольный вектор можно указать с помощью упорядоченного набора компонентов, заключенного в круглые или угловые скобки. р п {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}
В общем смысле n -мерный вектор v может быть задан в любой из следующих форм:
Где v 1 , v 2 ,…, v n - 1 , v n - компоненты v . [11]
Обозначение матрицы [ править ]
Прямоугольный вектор в также можно указать как матрицу строки или столбца, содержащую упорядоченный набор компонентов. Вектор, заданный как матрица-строка, известен как вектор-строка ; одна, указанная как матрица-столбец, известна как вектор-столбец .
Опять же, n- мерный вектор может быть задан в любой из следующих форм с использованием матриц:
где v 1 , v 2 ,…, v n - 1 , v n - компоненты v . В некоторых расширенных контекстах строка и вектор-столбец имеют разное значение; см. ковариацию и контравариантность векторов для получения дополнительной информации.
Обозначение единичного вектора [ править ]
Прямоугольный вектор в (или меньшее количество измерений, например, где v z ниже равно нулю) может быть задан как сумма скалярных кратных компонентов вектора с членами стандартного базиса в . Основа представлена с единичными векторами , и .
Трехмерный вектор может быть задан в следующей форме, используя обозначение единичного вектора:
Где v x , v y и v z - скалярные компоненты v . Скалярные компоненты могут быть положительными или отрицательными; абсолютное значение скалярной составляющей - это ее величина.
Полярные векторы [ править ]
Две полярные координаты точки на плоскости можно рассматривать как двумерный вектор. Такой полярный вектор состоит из величины (или длины) и направления (или угла). Величина, обычно представленная как r , - это расстояние от начальной точки, начала координат , до отображаемой точки. Угол, обычно обозначаемый как θ ( греческая буква тета ), представляет собой угол, обычно измеряемый против часовой стрелки, между фиксированным направлением, обычно положительным по оси x , и направлением от начала координат к точке. Угол обычно уменьшается, чтобы он находился в пределах диапазонарадианы или .
Следует подчеркнуть, что полярный вектор на самом деле не является вектором , поскольку сложение двух полярных векторов не определено.
Упорядоченные множества и матричные обозначения [ править ]
Полярные векторы могут быть указаны с использованием нотации упорядоченной пары (подмножество нотации упорядоченного множества, использующей только два компонента) или матричной нотации, как с прямоугольными векторами. В этих формах первый компонент вектора - это r (вместо v 1 ), а второй компонент - это θ (вместо v 2 ). Чтобы различать полярные векторы из прямоугольных векторов, угол может быть с префиксом символом угла, .
Двумерный полярный вектор v может быть представлен как любое из следующих, используя либо упорядоченную пару, либо матричную запись:
где r - величина, θ - угол, а символ угла ( ) необязателен.
Прямая запись [ править ]
Полярные векторы также могут быть заданы с помощью упрощенных автономных уравнений, которые явно определяют r и θ . Это может быть громоздко, но полезно для избежания путаницы с двумерными прямоугольными векторами, которая возникает из-за использования упорядоченных пар или матричных обозначений.
Двумерный вектор с величиной 5 единиц и направлением π / 9 радиан (20 °) может быть задан с использованием любой из следующих форм:
Цилиндрические векторы [ править ]
Цилиндрический вектор - это расширение концепции полярных векторов до трех измерений. Это похоже на стрелку в цилиндрической системе координат . Цилиндрический вектор задается расстоянием в плоскости xy , углом и расстоянием от плоскости xy (высотой). Первое расстояние, обычно обозначаемое как r или ρ (греческая буква rho ), представляет собой величину проекции вектора на плоскость xy . Угол, обычно обозначаемый как θ или φ (греческая буква фи ), измеряется как смещение от линии, коллинеарной оси x.- ось в положительном направлении; угол обычно уменьшается, чтобы он находился в пределах диапазона . Второе расстояние, обычно представленное как h или z , - это расстояние от плоскости xy до конечной точки вектора.
Упорядоченные множества и матричные обозначения [ править ]
Цилиндрические векторы задаются как полярные векторы, где второй компонент расстояния объединяется как третий компонент для формирования упорядоченных триплетов (опять же, подмножества обозначений упорядоченного набора) и матриц. Угол может быть предварен символом угла ( ); комбинация расстояние-угол-расстояние отличает цилиндрические векторы в этой нотации от сферических векторов в аналогичной нотации.
Трехмерный цилиндрический вектор v может быть представлен как любое из следующих, используя либо упорядоченный триплет, либо матричную запись:
Где r - величина проекции v на плоскость xy , θ - угол между положительной осью x и v , а h - высота от плоскости xy до конечной точки v . Опять же, символ угла ( ) необязателен.
Прямая запись [ править ]
Цилиндрический вектор также можно задать напрямую, используя упрощенные автономные уравнения, которые определяют r (или ρ ), θ (или φ ) и h (или z ). При выборе имен для переменных следует использовать согласованность; ρ нельзя смешивать с θ и так далее.
Трехмерный вектор, величина проекции которого на плоскость xy составляет 5 единиц, угол которого относительно положительной оси x составляет π / 9 радиан (20 °), а высота от плоскости xy составляет 3 единицы, может быть указанным в любой из следующих форм:
Сферические векторы [ править ]
Сферический вектор - это еще один метод расширения концепции полярных векторов до трех измерений. Это похоже на стрелку в сферической системе координат . Сферический вектор определяется величиной, азимутальным углом и зенитным углом. Величина обычно обозначается как ρ . Азимутальный угол, обычно обозначаемый как θ , представляет собой смещение (против часовой стрелки) от положительной оси x . Зенитный угол, обычно обозначаемый как φ , представляет собой смещение от положительной оси z . Оба угла обычно уменьшаются, чтобы лежать в диапазоне от нуля (включительно) до 2 π (исключая).
Упорядоченные множества и матричные обозначения [ править ]
Сферические векторы задаются как полярные векторы, где зенитный угол объединяется в качестве третьего компонента для формирования упорядоченных триплетов и матриц. Азимутальный и зенитный углы могут иметь префикс символа угла ( ); префикс следует использовать последовательно для получения комбинации расстояние-угол-угол, которая отличает сферические векторы от цилиндрических.
Трехмерный сферический вектор v может быть представлен как любое из следующих, используя либо упорядоченный триплет, либо матричную запись:
Где ρ - величина, θ - азимутальный угол, а φ - зенитный угол.
Прямая запись [ править ]
Подобно полярным и цилиндрическим векторам, сферические векторы могут быть заданы с помощью упрощенных автономных уравнений, в данном случае для ρ , θ и φ .
Трехмерный вектор с величиной 5 единиц, азимутальным углом π / 9 радиан (20 °) и зенитным углом π / 4 радиан (45 °) может быть задан как:
Операции [ править ]
В любом заданном векторном пространстве определены операции сложения векторов и скалярного умножения. Нормированные векторные пространства также определяют операцию, известную как норма (или определение величины). Внутренние пространства продукта также определяют операцию, известную как внутренний продукт. В внутренний продукт известен как скалярный продукт . В и также определена дополнительная операция, известная как перекрестное произведение . R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Сложение векторов [ править ]
Сложение векторов представлено знаком плюс, используемым в качестве оператора между двумя векторами. Сумма двух векторов u и v будет представлена как: [3]
Скалярное умножение [ править ]
Скалярное умножение представлено тем же способом, что и алгебраическое умножение. Скаляр рядом с вектором (один или оба из них могут быть в скобках) подразумевает скалярное умножение. Два общих оператора, точка и повернутый крест, также приемлемы (хотя повернутый крест почти никогда не используется), но они рискуют запутаться с скалярными произведениями и перекрестными произведениями, которые работают с двумя векторами. Произведение скаляра k на вектор v может быть представлено любым из следующих способов:
- [3]
Вычитание векторов и скалярное деление [ править ]
Используя алгебраические свойства вычитания и деления, наряду со скалярным умножением, также можно «вычесть» два вектора и «разделить» вектор на скаляр.
Вычитание вектора выполняется путем добавления скалярного числа, кратного -1, со вторым векторным операндом к первому векторному операнду. Это можно представить с помощью знака минус в качестве оператора. Разницу между двумя векторами u и v можно представить одним из следующих способов:
- [3]
Скалярное деление выполняется путем умножения векторного операнда на числовое значение, обратное скалярному операнду. Это можно представить с помощью дробной черты или знаков деления в качестве операторов. Частное вектора v и скаляра c может быть представлено в любой из следующих форм:
Норма [ править ]
Норма вектора представлена с двойными полосами по обе стороны от вектора. Норма вектора v может быть представлена как: [3]
Норма также иногда представлена отдельными полосами, например , но это можно спутать с абсолютным значением (которое является типом нормы).
Внутренний продукт [ править ]
Скалярное произведение двух векторов (также известное как скалярное произведение, не следует путать с скалярным умножением) представляются в виде упорядоченной пары , заключенной в угловых скобках. Внутреннее произведение двух векторов u и v будет представлено как: [3]
Точечный продукт [ править ]
В внутренний продукт также известен как скалярный продукт . В дополнение к стандартной нотации внутреннего произведения также может использоваться нотация скалярного произведения (с использованием точки в качестве оператора) (и это более распространено). Скалярное произведение двух векторов u и v может быть представлено как: [3]
В некоторой старой литературе скалярное произведение подразумевается между двумя векторами, написанными бок о бок. Это обозначение можно спутать с диадическим произведением двух векторов.
Перекрестный продукт [ править ]
Векторное произведение двух векторов (в ) представлено с помощью вращаемого креста как оператор. Перекрестное произведение двух векторов u и v будет представлено как: [3]
По некоторым соглашениям (например, во Франции и в некоторых областях высшей математики) это также обозначается клином [12], что позволяет избежать путаницы с продуктом клина, поскольку они функционально эквивалентны в трех измерениях:
В некоторой старой литературе для перекрестного произведения u и v используются следующие обозначения :
Набла [ править ]
Векторная запись используется в исчислении с помощью оператора Набла :
С скалярной функции F , то градиент записывается в виде
с векторным полем, Р расхождение записывается в виде
и с векторным полем, F ротор записывается в виде
См. Также [ править ]
- Евклидов вектор
- ISO 31-11 # Векторы и тензоры
- Фазор
Ссылки [ править ]
- ^ Принципы и приложения математики для коммуникационной электроники . 1992. стр. 123.
- ↑ Гроб, Джозеф Джордж (1911). Векторный анализ . J. Wiley & sons. CS1 maint: discouraged parameter (link)
- ^ a b c d e f g h «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 19 августа 2020 .
- ^ «ISO 80000-2: 2019 Величины и единицы - Часть 2: Математика» . Международная Организация Стандартизации. Август 2019.
- ^ Эдвин Бидвелл Вильсон (1901) Векторный анализ, основанный на лекциях Дж. В. Гиббса в Интернет-архиве
- ↑ Оливер Хевисайд , Электрический журнал , Том 28. Джеймс Грей, 1891. 109 ( альт )
- ^ JB Shaw (1912) Сравнительная нотация для векторных выражений , Бюллетень Общества Quaternion через Hathi Trust .
- ^ Александр Макфарлейн (1912) Система обозначений для векторного анализа; с обсуждением основополагающих принципов из бюллетеня Quaternion Society
- ↑ Карин Райх (1995) Die Rolle Arnold Sommerfeld bei der Diskussion um die Vektorrechnung
- ^ Механика деформируемых тел , стр. 10, в Google Книгах
- ^ Weisstein, Эрик В. "Вектор" . mathworld.wolfram.com . Проверено 19 августа 2020 .
- ^ Cajori, Флориан (2011). История математических обозначений . Dover Publications. п. 134 (Том 2). ISBN 9780486161167.