В тех разделах математики, которые называются динамическими системами и эргодической теорией , концепция блуждающего множества формализует определенную идею движения и перемешивания в таких системах. Когда динамическая система имеет блуждающее множество ненулевой меры, тогда система является диссипативной системой . Это полная противоположность консервативной системе , к которой применимы идеи теоремы Пуанкаре о возвращении . Интуитивно легко понять связь между блуждающими множествами и диссипацией: если часть фазового пространства"блуждает" во время нормальной временной эволюции системы и никогда не посещается снова, тогда система диссипативна. Язык блуждающих множеств можно использовать для точного математического определения концепции диссипативной системы. Понятие блуждающих множеств в фазовом пространстве было введено Биркгофом в 1927 г. [ править ]
Блуждающие точки
Обычное определение блуждающих множеств в дискретном времени начинается с карты из топологического пространства X . ТочкаГоворят , чтобы быть блуждающей точкой , если существует окрестность U по й и положительному целому число N , что для всех, повторенная карта не пересекается:
Более удобное определение требует только, чтобы пересечение имело нулевую меру . Чтобы быть точным, определение требует, чтобы X было мерным пространством , т. Е. Частью тройкииз борелевских множеств и мера такой, что
для всех . Точно так же система с непрерывным временем будет иметь картуопределение временной эволюции или потока системы с помощью оператора временной эволюцииявляется однопараметрическим непрерывным действием абелевой группы на X :
В таком случае точка блуждания будет иметь окрестность U от й и времени T такое , что для всех времен, временная карта имеет нулевую меру:
Эти простые определения могут быть полностью обобщаются на действия группы в виде топологической группы . Позволять- пространство с мерой, то есть множество с мерой, определенной на его борелевских подмножествах . Позволять- группа, действующая на этом множестве. Учитывая точку, набор
называется траекторией или орбитой точки x .
Элемент называется блуждающей точкой , если существует окрестность U от й и окрестности V единицы в такой, что
для всех .
Неблуждающие точки
Точка отсутствия блуждания - наоборот. В дискретном случаене является блуждающим, если для каждого открытого множества U, содержащего x, и каждого N > 0 существует такое n > N , что
Аналогичные определения следуют для непрерывных, дискретных и непрерывных групповых действий.
Блуждающие множества и диссипативные системы
Блуждающий набор - это набор точек блуждания. Точнее, подмножество W изявляется блуждающим множеством под действием дискретной группыесли W измеримо и если для любого Перекресток
- множество нулевой меры.
Концепция блуждающего множества в некотором смысле двойственна идеям, выраженным в теореме Пуанкаре о возвращении. Если существует блуждающее множество положительной меры, то действиеназывается диссипативной , а динамическая система называется диссипативной системой . Если такого блуждающего множества нет, действие называется консервативным , а система - консервативной системой . Например, любая система, для которой верна теорема Пуанкаре, не может по определению иметь блуждающее множество положительной меры; и, таким образом, является примером консервативной системы.
Определим траекторию блуждающего множества W как
Действие называется полностью диссипативным, если существует блуждающее множество W положительной меры, такое что орбита это почти везде , равный, то есть если
- множество нулевой меры.
В разложении Хопф утверждает , что каждое пространство с мерой с невырожденным преобразованием можно разложить на инвариантное множество консервативного и инвариантное множество блуждающего.
Смотрите также
Рекомендации
- Николс, Питер Дж. (1989). Эргодическая теория дискретных групп . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-37674-2.
- Александр И. Даниленко и Сезар Э. Сильва (8 апреля 2009 г.). Эргодическая теория: невырожденные преобразования ; См. Arxiv arXiv: 0803.2424 .
- Кренгель, Ульрих (1985), Эргодические теоремы , Исследования Де Грюйтера по математике, 6 , де Грюйтер, ISBN 3-11-008478-3