В теории чисел , проблема Варинга спрашивает , может ли каждое натуральное число к имеет связанное с ним целым положительным числом s такими , что каждое натуральное число есть сумма в большинстве s натуральные чисел в степени к . Например, каждое натуральное число представляет собой сумму не более 4 квадратов, 9 кубиков или 19 четвертых степеней. Проблема Варинга была предложена в 1770 году Эдвардом Уорингом , в честь которого она названа. Утвердительный ответ на нее , известный как теорема Гильберта – Варинга , был дан Гильбертом в 1909 году. [1] Проблема Варинга имеет собственную классификацию предметов по математике., 11P05, «Проблема Варинга и варианты».
Связь с теоремой Лагранжа о четырех квадратах
Задолго до того, как Варинг поставил свою задачу, Диофант спросил, может ли каждое положительное целое число быть представлено в виде суммы четырех полных квадратов, больших или равных нулю. Этот вопрос позже стал известен как гипотеза Баше, после того, как в 1621 году Клод Гаспар Баше де Мезириак перевел Диофанта , и он был решен Жозефом-Луи Лагранжем в его теореме о четырех квадратах в 1770 году, в том же году, когда Варинг высказал свою гипотезу. Варинг стремился обобщить эту проблему, пытаясь представить все положительные целые числа в виде суммы кубов, целых чисел в четвертой степени и т. Д., Чтобы показать, что любое положительное целое число может быть представлено как сумма других целых чисел, возведенных в определенную степень, и что всегда было максимальное количество целых чисел, возведенных в определенную степень, необходимое для представления всех положительных целых чисел таким образом.
Число g ( k )
Для каждого , позволять обозначить минимальное число из -ые степени натуральных чисел, необходимые для представления всех положительных целых чисел. Каждое положительное целое число - это сумма самой первой степени, поэтому. Некоторые простые вычисления показывают, что 7 требует 4 квадрата, 23 требует 9 кубов, [2] и 79 требует 19 четвертых степеней; эти примеры показывают, что, , а также . Варинг предположил, что эти нижние оценки на самом деле являются точными значениями.
Теорема Лагранжа о четырех квадратах 1770 года утверждает, что каждое натуральное число является суммой не более четырех квадратов. Поскольку трех квадратов недостаточно, эта теорема устанавливает. Теорема Лагранжа о четырех квадратах была сформулирована в « Арифметике Диофанта » Баше 1621 года ; Ферма заявил, что у него есть доказательство, но не опубликовал его. [3]
С годами были установлены различные границы с использованием все более изощренных и сложных методов доказательства. Например, Лиувилль показал, чтоне больше 53. Харди и Литтлвуд показали, что все достаточно большие числа являются суммой не более 19 четвертых степеней.
Что был создан с 1909 по 1912 г. Wieferich [4] и AJ Kempner , [5] в 1986 г. - Р. Баласубраманян , Ф. Дресс и Ж.-М. Deshouillers , [6] [7] в 1964 году Чэнь Цзинжун ив 1940 году Пиллаи . [8]
Позволять а также обозначают соответственно целую и дробную части положительного действительного числа. Учитывая количество, Только а также может использоваться для представления ; наиболее экономичное представление требует условия а также условия . Следует, что по крайней мере такой же большой, как . Это было отмечено Дж. А. Эйлером, сыном Леонхарда Эйлера , примерно в 1772 году. [9] Более поздние работы Диксона , Пиллаи , Рубугундея , Нивена [10] и многих других доказали, что
Нет ценности известен тем, что . Малер [11] доказал, что таких, а Кубина и Вундерлих [12] показали, что любой такой должен удовлетворить 471 600 000. Таким образом, предполагается, что этого никогда не происходит, то есть для каждого положительного целого числа .
Первые несколько значений находятся:
Число G ( k )
Из работы Харди и Литтлвуда соответствующая величина G ( k ) изучалась с помощью g ( k ). G ( k ) определяется как наименьшее положительное целое число s такое, что каждое достаточно большое целое число (т. Е. Каждое целое число, большее некоторой константы) может быть представлено как сумма не более s положительных целых чисел в степени k . Ясно, что G (1) = 1. Поскольку квадраты конгруэнтны 0, 1 или 4 (mod 8), никакое целое число, конгруэнтное 7 (mod 8), не может быть представлено в виде суммы трех квадратов, из чего следует, что G (2) ≥ 4 . Поскольку G ( k ) ≤ g ( k ) для всех k , это показывает, что G (2) = 4 . Давенпорт показал, что G (4) = 16 в 1939 году, продемонстрировав, что любое достаточно большое число, конгруэнтное с 1 по 14 по модулю 16, может быть записано как сумма 14 четвертых степеней (Воган в 1985 и 1989 годах уменьшил 14 последовательно до 13 и 12. ). Точное значение G ( k ) неизвестно ни для каких других k , но существуют границы.
Оценки снизу для G ( k )
Границы |
---|
1 = G (1) = 1 |
4 = G (2) = 4 |
4 ≤ G (3) ≤ 7 |
16 = G (4) = 16 |
6 ≤ G (5) ≤ 17 |
9 ≤ G (6) ≤ 24 |
8 ≤ G (7) ≤ 33 |
32 ≤ G (8) ≤ 42 |
13 ≤ G (9) ≤ 50 |
12 ≤ G (10) ≤ 59 |
12 ≤ G (11) ≤ 67 |
16 ≤ G (12) ≤ 76 |
14 ≤ G (13) ≤ 84 |
15 ≤ G (14) ≤ 92 |
16 ≤ G (15) ≤ 100 |
64 ≤ G (16) ≤ 109 |
18 ≤ G (17) ≤ 117 |
27 ≤ G (18) ≤ 125 |
20 ≤ G (19) ≤ 134 |
25 ≤ G (20) ≤ 142 |
Число G ( k ) больше или равно
- 2 r +2, если k = 2 r при r ≥ 2, или k = 3 × 2 r ;
- p r +1, если p простое число больше 2 и k = p r ( p - 1);
- ( p r +1 - 1) / 2, если p простое число больше 2 и k = p r (p - 1) / 2;
- k + 1 для всех целых k больше 1.
В отсутствие ограничений сравнения аргумент плотности предполагает, что G ( k ) должно быть равно k + 1 .
Верхние оценки для G ( k )
G (3) не менее четырех (поскольку кубы конгруэнтны 0, 1 или −1 mod 9); для чисел меньше 1,3 × 10 9 1290740 является последним, требующим шести кубиков, а количество чисел от N до 2N, требующих пяти кубов, уменьшается с увеличением N с достаточной скоростью, чтобы люди поверили, что G (3) = 4 ; [13] наибольшее число, которое, как известно, не является суммой четырех кубиков, равно 7373170279850, [14] и авторы приводят разумные аргументы в пользу того, что это может быть наибольшее возможное число. Верхняя граница G (3) ≤ 7 была получена Линником в 1943 году. [15] (Для всех неотрицательных целых чисел требуется не более 9 кубов, а наибольшие целые числа, требующие 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, предположительно равны 239, 454, 8042, 1290740 и 7373170279850 соответственно.)
13792 - это наибольшее число, требующее семнадцати четвертых степеней (Deshouillers, Hennecart и Landreau показали в 2000 г. [16], что каждое число от 13793 до 10 245 требует не более шестнадцати), а Кавада, Вули и Deshouillers расширили результат Давенпорта 1939 года, чтобы показать, что каждое число свыше 10 220 требуется не более шестнадцати). Шестнадцать четвертых степеней всегда необходимы, чтобы записать число вида 31 · 16 n .
617597724 - последнее число меньше 1,3 × 10 9, что требует десяти пятых степеней, и 51033617 - последнее число меньше 1,3 × 10 9, что требует одиннадцати.
Верхние границы справа с k = 5, 6, ..., 20 принадлежат Вогану и Вули . [17]
Используя свой усовершенствованный метод Харди-Литтлвуда , И. М. Виноградов опубликовал многочисленные уточнения, приведшие к
в 1947 г. и, в конечном итоге,
для неустановленной константы C и достаточно большого k в 1959 г.
Применяя свою p-адическую форму метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана-Виноградова к оценке тригонометрических сумм, в которой суммирование ведется по числам с малыми простыми делителями, Анатолий Алексеевич Карацуба получил [18] (1985) новую оценку уравнения Харди. функция (для ):
Дальнейшие уточнения были получены Воганом [1989].
Вул затем было установлено , что для некоторой константы C , [19]
Воан и Вули написали обширную обзорную статью. [17]
Смотрите также
- Теорема Ферма о многоугольных числах , по теореме каждое положительное целое число является суммой не более n из n -угольных чисел
- Проблема Варинга – Гольдбаха , проблема представления чисел в виде сумм степеней простых чисел
- Проблема суммы подмножества , алгоритмическая проблема, которая может использоваться, чтобы найти кратчайшее представление данного числа в виде суммы степеней
- Суммы трех кубов , обсуждает, какие числа являются суммой трех не обязательно положительных кубиков.
Заметки
- ^ Гильберт, Дэвид (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)" . Mathematische Annalen . 67 (3): 281–300. DOI : 10.1007 / bf01450405 . Руководство по ремонту 1511530 .
- ^ Помните, что мы ограничиваемся натуральными числами. С обычными целыми числами нетрудно записать 23 как сумму 4 кубиков, например или же .
- ^ Диксон, Леонард Юджин (1920). «Глава VIII». История теории чисел, Том II: Диофантов анализ . Институт Карнеги в Вашингтоне .
- ^ Виферих, Артур (1909). "Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt" . Mathematische Annalen . 66 (1): 95–101. DOI : 10.1007 / BF01450913 .
- ^ Кемпнер, Обри (1912). "Bemerkungen zum Waringschen Problem" . Mathematische Annalen . 72 (3): 387–399. DOI : 10.1007 / BF01456723 .
- ^ Баласубраманиан, Рамачандран; Deshouillers, Жан-Марк; Платье, Франсуа (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution" [Проблема Варинга для биквадратов. I. Эскиз решения. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (на французском языке). 303 (4): 85–88. Руководство по ремонту 0853592 .
- ^ Баласубраманиан, Рамачандран; Deshouillers, Жан-Марк; Платье, Франсуа (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique" [Проблема Варинга для биквадратов. II. Вспомогательные результаты к асимптотической теореме. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (на французском языке). 303 (5): 161–163. Руководство по ремонту 0854724 .
- ^ Пиллаи, СС (1940). «О проблеме Варинга g (6) = 73». Proc. Индийский акад. Sci . 12 : 30–40. DOI : 10.1007 / BF03170721 . Руководство по ремонту 0002993 .
- ^ Л. Эйлер "Opera posthuma" (1), 203-204 (1862). Читать онлайн
- ^ Нивен, Иван М. (1944). «Неразрешенный случай проблемы Варинга». Американский журнал математики . Издательство Университета Джона Хопкинса. 66 (1): 137–143. DOI : 10.2307 / 2371901 . JSTOR 2371901 . Руководство по ремонту 0009386 .
- ^ Малер, Курт (1957). «О дробных частях степеней рационального числа II». Математика . 4 (2): 122–124. DOI : 10.1112 / s0025579300001170 . Руководство по ремонту 0093509 .
- ^ Кубина, Джеффри М .; Вундерлих, Марвин С. (1990). «Расширение гипотезы Варинга до 471 600 000». Математика. Комп. 55 (192): 815–820. Bibcode : 1990MaCom..55..815K . DOI : 10.2307 / 2008448 . JSTOR 2008448 . Руководство по ремонту 1035936 .
- ↑ Натансон (1996 , с. 71)
- ^ Deshouillers, Жан-Марк; Хеннекар, Франсуа; Ландро, Бернар; I. Gusti Putu Purnaba, Приложение от (2000). «7373170279850» . Математика вычислений . 69 (229): 421–439. DOI : 10.1090 / S0025-5718-99-01116-3 .
- ^ УФ Линник. Мат. Сб. НС 12 (54), 218–224 (1943) О представлении больших чисел в виде суммы семи кубов.
- ^ Deshouillers, Жан-Марк; Хеннекар, Франсуа; Ландро, Бернар (2000). «Проблема Варинга для шестнадцати биквадратов - численные результаты» . Журнал де Теория Номеров Бордо . 12 (2): 411–422. DOI : 10,5802 / jtnb.287 .
- ^ а б Vaughan, RC; Вули, Тревор (2002). «Проблема Варинга: обзор». В Bennet, Michael A .; Берндт, Брюс С .; Бостон, Найджел; Даймонд, Гарольд Дж .; Хильдебранд, Адольф Дж .; Филипп, Вальтер (ред.). Теория чисел для тысячелетия . III . Натик, Массачусетс: А.К. Питерс. С. 301–340. ISBN 978-1-56881-152-9. Руководство по ремонту 1956283 .
- ^ Карацуба, А.А. (1985). «О функции G (n) в проблеме Варинга». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Математика . 27 (49: 5): 935–947. Bibcode : 1986IzMat..27..239K . DOI : 10.1070 / IM1986v027n02ABEH001176 .
- ^ Vaughan, RC (1997). Метод Харди-Литтлвуда . Кембриджские трактаты по математике. 125 (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-57347-5. Zbl 0868.11046 .
Рекомендации
- Г. И. Архипов, В. Н. Чубариков, А. А. Карацуба , "Тригонометрические суммы в теории чисел и анализе". Берлин – Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер, (2004).
- Г. И. Архипов, А. А. Карацуба, В. Н. Чубариков, "Теория кратных тригонометрических сумм". Москва: Наука, (1987).
- Ю. В. Линник , "Элементарное решение проблемы Варинга методом Шнирельмана". Мат. Сб., Н. Сер. 12 (54), 225–230 (1943).
- RC Vaughan , "Новый итерационный метод в проблеме Варинга". Acta Mathematica (162), 1–71 (1989).
- И. М. Виноградов "Метод тригонометрических сумм в теории чисел". Trav. Inst. Математика. Стеклова (23), 109 с. (1947).
- И. М. Виноградов "Об оценке сверху G (n)". Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. (23), 637–642 (1959).
- И. М. Виноградов, А. А. Карацуба, "Метод тригонометрических сумм в теории чисел", Тр. Стеклова Математика. 1986. Т. 168. С. 3–30; перевод из Труды Матем. Inst. МИАН, 168, 4–30 (1984).
- Эллисон, WJ (1971). «Проблема Варинга» . Американский математический ежемесячник . 78 (1): 10–36. DOI : 10.2307 / 2317482 . JSTOR 2317482 .Обзор, содержит точную формулу для g ( k ), упрощенную версию доказательства Гильберта и множество ссылок.
- Хинчин, А.Я. (1998). Три жемчужины теории чисел . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-40026-6.Имеет элементарное доказательство существования G ( k ) с использованием плотности Шнирельмана .
- Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: классические основы . Тексты для выпускников по математике . 164 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002 .Имеет доказательства теоремы Лагранжа, теоремы о многоугольных числах , доказательство Гильберта гипотезы Варинга и доказательство Харди-Литтлвуда асимптотической формулы для числа способов представить N как сумму s k- ых степеней.
- Ганс Радемахер и Отто Теплиц , Удовольствие от математики (1933) ( ISBN 0-691-02351-4 ). Имеет доказательство теоремы Лагранжа, доступное для старшеклассников.
Внешние ссылки
- "Проблема Варинга" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]