Знаковый ранговый тест Вилкоксона

Уилкоксона-ранговый критерий является непараметрический тест статистической гипотезы используется для сравнения двух связанных выборок, совпавшие пробы, или повторные измерения на одном образце для оценки отличаются ли их население средние ранги (т.е. это разница тест в паре ). Его можно использовать как альтернативу парному t- критерию Стьюдента (также известному как « t- критерий для согласованных пар» или « t- критерий для зависимых выборок»), когда нельзя предположить распределение разницы между средними значениями двух выборок. для нормального распространения . ^[1] Знаковый ранговый критерий Уилкоксона - это непараметрический тест, который можно использовать для определения того, были ли выбраны две зависимые выборки из популяций, имеющих одинаковое распределение.

История [ править ]

Этот тест назван в честь Фрэнка Уилкоксона (1892–1965), который в одной статье предложил как его, так и тест суммы рангов для двух независимых выборок (Wilcoxon, 1945). ^[2] Этот тест популяризировал Сидни Сигел (1956) в его влиятельном учебнике по непараметрической статистике. ^[3] Сигель использовал символ T для значения, связанного с,, но не совпадающего с ним . Вследствие этого тест иногда называют Вилкоксона T тест , и тест статистики сообщается как значение T . ${\ displaystyle W}$

Предположения [ править ]

Данные парные и относятся к одной и той же совокупности.
Каждая пара выбирается случайным образом и независимо ^{[ ссылка ]} .
Данные измеряются, по крайней мере, по интервальной шкале, когда, как обычно, для проведения теста вычисляются различия внутри пары (хотя достаточно, чтобы сравнения внутри пары проводились по порядковой шкале ).

Процедура тестирования [ править ]

Пусть будет размер выборки, т. Е. Количество пар. Таким образом, всего имеется 2N точек данных. Для пар пусть и обозначают измерения. ${\ displaystyle N}$ ${\ Displaystyle я = 1, ..., N}$ ${\ displaystyle x_ {1, i}}$ ${\ displaystyle x_ {2, i}}$

H ₀ : разница между парами следует симметричному распределению около нуля

H ₁ : разница между парами не подчиняется симметричному распределению около нуля.

Для , вычислить и , где - знаковая функция . ${\ Displaystyle я = 1, ..., N}$ ${\ displaystyle | x_ {2, i} -x_ {1, i} |}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x_ {2, i} -x_ {1, i})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sgn}}$
Исключить пары с . Позвольте быть уменьшенным размером выборки. ${\ displaystyle | x_ {2, i} -x_ {1, i} | = 0}$ ${\ displaystyle N_ {r}}$
Упорядочите оставшиеся пары от наименьшей абсолютной разницы до наибольшей абсолютной разницы . ${\ displaystyle N_ {r}}$ ${\ displaystyle | x_ {2, i} -x_ {1, i} |}$
Ранжируйте пары, начиная с пары с наименьшей ненулевой абсолютной разницей как 1. Ранги получают равные среднему значению рангов, которые они охватывают. Позвольте обозначить ранг. ${\ displaystyle R_ {i}}$
Рассчитать статистику теста ${\ displaystyle W}$
${\ displaystyle W = \ sum _ {i = 1} ^ {N_ {r}} [\ operatorname {sgn} (x_ {2, i} -x_ {1, i}) \ cdot R_ {i}]}$ , сумма подписанных рангов.
При нулевой гипотезе следует определенному распределению без простого выражения. Это распределение имеет ожидаемое значение , равное 0 и дисперсию в . ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle {\ frac {N_ {r} (N_ {r} +1) (2N_ {r} +1)} {6}}}$
${\ displaystyle W}$ можно сравнить с критическим значением из справочной таблицы. ^[4]
Двусторонний тест заключается в отклонении if . ${\ displaystyle H_ {0}}$ ${\ displaystyle | W |> W_ {критический, N_ {r}}}$
По мере увеличения выборочное распределение сходится к нормальному распределению. Таким образом, ${\ displaystyle N_ {r}}$ ${\ displaystyle W}$
Для получения , A Z-оценка может быть вычислена как , где . ${\ displaystyle N_ {r} \ geq 20}$ ${\ displaystyle z = {\ frac {W} {\ sigma _ {W}}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {W} = {\ sqrt {\ frac {N_ {r} (N_ {r} +1) (2N_ {r} +1)} {6}}}}$
Чтобы выполнить двусторонний тест, отклоните if . ${\ displaystyle H_ {0}}$ $|z|>z_{critical}$
В качестве альтернативы можно выполнить односторонние тесты с точным или приблизительным распределением. p-значения также могут быть вычислены.
Для точного распределения необходимо использовать. $N_{r}<20$

Пример [ править ]

$i$	$x_{2,i}$	$x_{1,i}$	$x_{2,i}-x_{1,i}$
$i$	$x_{2,i}$	$x_{1,i}$	$\operatorname {sgn}$	${\text{abs}}$
1	125	110	1	15
2	115	122	–1	7
3	130	125	1	5
4	140	120	1	20
5	140	140		0
6	115	124	–1	9
7	140	123	1	17
8	125	137	–1	12
9	140	135	1	5
10	135	145	–1	10

заказ по абсолютной разнице

$i$	$x_{2,i}$	$x_{1,i}$	$x_{2,i}-x_{1,i}$
$i$	$x_{2,i}$	$x_{1,i}$	$\operatorname {sgn}$	${\text{abs}}$	$R_{i}$	$\operatorname {sgn} \cdot R_{i}$
5	140	140		0
3	130	125	1	5	1.5	1.5
9	140	135	1	5	1.5	1.5
2	115	122	–1	7	3	–3
6	115	124	–1	9	4	–4
10	135	145	–1	10	5	–5
8	125	137	–1	12	6	–6
1	125	110	1	15	7	7
7	140	123	1	17	8	8
4	140	120	1	20	9	9

$\operatorname {sgn}$ - знаковая функция , - абсолютное значение , - это ранг . Обратите внимание, что пары 3 и 9 связаны по абсолютной величине. Они будут иметь ранги 1 и 2, поэтому каждый получит среднее значение 1,5. ${\text{abs}}$ $R_{i}$

W=1.5+1.5-3-4-5-6+7+8+9=9

|W|<W_{\operatorname {crit} (\alpha =0.05,\ 9{\text{, two-sided}})}=15

^[5]

\therefore {\text{failed to reject }}H_{0}

что две медианы одинаковы.

-Value этого результата

p

0.6113

Историческая статистика T [ править ]

В исторических источниках использовалась другая статистика, обозначенная Сигелем как статистика T. T статистика меньшая из двух сумм рангов данного знака; в данном примере, следовательно, T будет равно 3 + 4 + 5 + 6 = 18. Для значимости требуются низкие значения T. T легче вычислить вручную, чем W, и этот тест эквивалентен двустороннему тесту, описанному выше; однако необходимо скорректировать распределение статистики ниже . $H_{0}$

T>T_{\operatorname {crit} (\alpha =0.05,\ 9{\text{, two-sided}})}=5

\therefore {\text{failed to reject }}H_{0}

что две медианы одинаковы.

Примечание. Критические значения T ( ) по значениям можно найти в приложениях к учебникам по статистике, например, в Таблице B-3 Непараметрической статистики: Пошаговый подход, 2-е издание Дейла И. Формана и Грегори В. Кордера. ( https://www.oreilly.com/library/view/nonparametric-statistics-a/9781118840429/bapp02.xhtml ). $T_{\operatorname {crit} }$ $N_{r}$

В качестве альтернативы, если n достаточно велико, распределение T ниже может быть аппроксимировано нормальным распределением со средним значением и дисперсией . $H_{0}$ ${\frac {n(n+1)}{4}}$ ${\frac {n(n+1)(2n+1)}{24}}$

Ограничение [ править ]

Как показано в примере, когда разница между группами равна нулю, наблюдения отбрасываются. Это вызывает особую озабоченность, если образцы взяты из дискретного распределения. В этих сценариях модификация теста Вилкоксона, выполненная Праттом 1959, предоставляет альтернативу, которая включает нулевые разности. ^[6]^[7] Эта модификация более надежна для данных по порядковой шкале. ^[7]

Размер эффекта [ править ]

Чтобы вычислить величину эффекта для знакового рангового теста, можно использовать ранговую бисериальную корреляцию .

Если тестовая статистика Вт Сообщается, ранг корреляции г равно тестовой статистики Вт , деленное на общее суммы рангов S , или R = W / S . ^[8] Используя приведенный выше пример, статистика теста W = 9. Размер выборки 9 имеет общую сумму рангов S = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 45. Следовательно, ранговая корреляция составляет 9/45, поэтому r = 0,20.

Если сообщается тестовая статистика T , эквивалентный способ вычисления ранговой корреляции заключается в разнице в пропорции между двумя суммами рангов, которая представляет собой формулу простой разности Керби (2014). ^[8] Продолжая текущий пример, размер выборки равен 9, поэтому общая сумма рангов равна 45. T - меньшая из двух сумм рангов, поэтому T составляет 3 + 4 + 5 + 6 = 18. Из этой информации Только оставшаяся сумма рангов может быть вычислена, потому что это общая сумма S минус T , или в данном случае 45 - 18 = 27. Затем две пропорции суммы рангов равны 27/45 = 60% и 18/45 = 40%. Наконец, ранговая корреляция - это разница между двумя пропорциями (0,60 минус 0,40), следовательно, r = .20.

Программные реализации [ править ]

R включает реализацию теста as wilcox.test(x,y, paired=TRUE), где x и y - векторы одинаковой длины. ^[9]
ALGLIB включает реализацию знакового рангового теста Вилкоксона в C ++, C #, Delphi, Visual Basic и т. Д.
GNU Octave реализует в функции различные односторонние и двусторонние версии теста wilcoxon_test.
SciPy включает в себя реализацию знакового рангового теста Вилкоксона на Python.
Accord.NET включает в себя реализацию знакового рангового теста Вилкоксона на C # для приложений .NET.
MATLAB реализует этот тест, используя «тест суммы рангов Вилкоксона», поскольку [p, h] = signrank (x, y) также возвращает логическое значение, указывающее решение теста. Результат h = 1 указывает на отклонение нулевой гипотезы, а h = 0 указывает на неспособность отклонить нулевую гипотезу на уровне значимости 5%.
Пакет Julia HypothesisTests включает в себя критерий ранжирования со знаком Вилкоксона как "значение (SignedRankTest (x, y))"

См. Также [ править ]

Критерий Манна – Уитни – Вилкоксона (вариант для двух независимых выборок)
Знаковый тест (как тест Вилкоксона, но без предположения о симметричном распределении различий вокруг медианы и без использования величины разницы)

Ссылки [ править ]

^ «Парный t-тест - Справочник по биологической статистике» . www.biostathandbook.com . Проверено 18 ноября 2019 .
Перейти ↑ Wilcoxon, Frank (декабрь 1945). «Индивидуальные сравнения методами ранжирования» (PDF) . Бюллетень биометрии . 1 (6): 80–83. DOI : 10.2307 / 3001968 . hdl : 10338.dmlcz / 135688 . JSTOR 3001968 .
^ Сигел, Сидней (1956). Непараметрическая статистика для наук о поведении . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 75–83. ISBN 9780070573482.
^ Лоури, Ричард. "Концепции и приложения выводной статистики" . Проверено 5 ноября 2018 .
^ Лоури, Ричард. "Концепции и приложения выводной статистики" . Проверено 17 декабря 2020 .
^ Пратт, J (1959). «Замечания о нулях и связях в процедурах ранжирования со знаком Уилкоксона». Журнал Американской статистической ассоциации . 54 (287): 655–667. DOI : 10.1080 / 01621459.1959.10501526 .
^ a b Деррик, B; Белый, П (2017). «Сравнение двух образцов из индивидуального вопроса Лайкерта». Международный журнал математики и статистики . 18 (3): 1–13.
^ a b Керби, Дэйв С. (2014), «Формула простой разницы: подход к обучению непараметрической корреляции.», Комплексная психология , 3 : 11.IT.3.1, doi : 10.2466 / 11.IT.3.1
^ Dalgaard, Питер (2008). Вводная статистика с R . Springer Science & Business Media. С. 99–100. ISBN 978-0-387-79053-4.

Внешние ссылки [ править ]

Знаковый ранговый тест Вилкоксона на языке R
Пример использования знакового рангового критерия Вилкоксона
Онлайн-версия теста
Таблица критических значений для критерия знакового ранга Вилкоксона
Краткое руководство экспериментального психолога Карла Л. Вюнша - Непараметрические оценки величины эффекта (Copyright 2015 by Karl L. Weunsch)
Керби, Д.С. (2014). Формула простой разницы: подход к обучению непараметрической корреляции. Комплексная психология , том 3, статья 1. doi: 10.2466 / 11.IT.3.1. ссылка на статью

[1] «Парный t-тест - Справочник по биологической статистике» . www.biostathandbook.com . Проверено 18 ноября 2019 .

[2] Перейти ↑ Wilcoxon, Frank (декабрь 1945). «Индивидуальные сравнения методами ранжирования» (PDF) . Бюллетень биометрии . 1 (6): 80–83. DOI : 10.2307 / 3001968 . hdl : 10338.dmlcz / 135688 . JSTOR 3001968 .

[3] Сигел, Сидней (1956). Непараметрическая статистика для наук о поведении . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 75–83. ISBN 9780070573482.

[lowry-4] Лоури, Ричард. "Концепции и приложения выводной статистики" . Проверено 5 ноября 2018 .

[5] Лоури, Ричард. "Концепции и приложения выводной статистики" . Проверено 17 декабря 2020 .

[Pratt-6] Пратт, J (1959). «Замечания о нулях и связях в процедурах ранжирования со знаком Уилкоксона». Журнал Американской статистической ассоциации . 54 (287): 655–667. DOI : 10.1080 / 01621459.1959.10501526 .

[IndivLikert-7] Деррик, B; Белый, П (2017). «Сравнение двух образцов из индивидуального вопроса Лайкерта». Международный журнал математики и статистики . 18 (3): 1–13.

[Kerby2014-8] Керби, Дэйв С. (2014), «Формула простой разницы: подход к обучению непараметрической корреляции.», Комплексная психология , 3 : 11.IT.3.1, doi : 10.2466 / 11.IT.3.1

[9] Dalgaard, Питер (2008). Вводная статистика с R . Springer Science & Business Media. С. 99–100. ISBN 978-0-387-79053-4.

[1]