Абсолютная величина

---

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа ${\displaystyle x}$ (в математике) — неотрицательное число, которое, неформально говоря, обозначает расстояние между началом координат и ${\displaystyle x}$. Обозначается: ${\displaystyle |x|.}$

В случае вещественного ${\displaystyle x}$ абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

Обобщением этого понятия является модуль, или абсолютная величина^[1], комплексного числа ${\displaystyle z=x+iy.}$ Это число определяется по формуле:

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|}$ означает расстояние между точками ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы^[2].

Для любых вещественных чисел ${\displaystyle a,b}$ имеют место следующие соотношения:

Как для вещественных, так и для комплексных ${\displaystyle a,b}$ имеют место соотношения:

---