Позиционная система счисления


Позиционная систе́ма счисле́ния (позиционная, поме́стная нумерация) — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда) относительно десятичного разделителя. Позиционные системы по сравнению с другими позволяют существенно упростить алгоритмы выполнения арифметических операций и ускорить вычисления. Их создание и распространение сыграли большую роль в развитии точных наук — математики, астрономии и физики.

Исторически первое изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам. Они использовали 60-ричную позиционную систему счисления.

Независимо от евразийских цивилизаций двадцатеричную позиционную систему счисления изобрели индейцы майя.

Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии в 595 году. Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. О ней рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось иное название — «арабская» (арабские цифры).

Позиционная система счисления определяется целым числом , называемым основанием системы счисления. Система счисления с основанием также называется -ичной (в частности, двоичной, троичной, десятичной и т.п.).

Целое число без знака в -ичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа [1]: