Абелева группа

---

А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа ${\displaystyle (G,\;*)}$ абелева, если ${\displaystyle a*b=b*a}$ для любых двух элементов ${\displaystyle a,\;b\in G}$.

Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком ${\displaystyle +}$ и называется сложением^[1]

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$ изоморфно прямой сумме ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ и ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу ${\displaystyle G}$ в форме прямой суммы

---