Автономная система дифференциальных уравнений

---

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда в нее явно не входит независимое переменное ${\displaystyle t}$.

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию ${\displaystyle x_{n+1}}$, заменив ею аргумент ${\displaystyle t}$ там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением ${\displaystyle {\frac {dx_{n+1}}{dt}}=1}$. Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с ${\displaystyle n}$ на ${\displaystyle n+1}$, что усложняет структуру семейства решений. Встречается, впрочем, и практический интерес такой замены. В численных методах для жестких систем бывает удобно перейти к аргументу «длина дуги», это производится следующим соотношением ${\displaystyle dl={\sqrt {dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}}}}$, которое, фактически, является длиной дуги интегральной кривой в n+1-мерном пространстве.

---