Аксиома степени

---

Аксиома степени — аксиома теории множеств, согласно которой на основе любого множества можно образовать множество его подмножеств, то есть такое множество ${\displaystyle d}$, которое состоит из всех собственных и несобственных подмножеств ${\displaystyle b}$ данного множества ${\displaystyle a}$. В символьном виде эта аксиома записывается так:

Аксиома степени задаёт тип множеств (подмножества множества ${\displaystyle a}$), которые должны быть элементами образуемого множества ${\displaystyle d}$. Вместе с тем она не указывает алгоритма нахождения всех элементов образуемого множества ${\displaystyle d}$.

Первое из этих высказываний — одно из следствий аксиомы степени, а второе — одна из конкретизаций схемы выделения.

Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность множества всех подмножеств для каждого множества ${\displaystyle a}$. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома степени равносильна высказыванию

${\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)}$, где ${\displaystyle b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)}$

${\displaystyle \forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\})}$

---