Аксиомы Пеано

---

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в 1889 году итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.

Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.

Математическая формулировка использует функцию следования^[en] ${\displaystyle S(x)}$, которая сопоставляет числу ${\displaystyle x}$ следующее за ним число.

Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некоторое высказывание ${\displaystyle P}$ верно для ${\displaystyle n=1}$ (база индукции) и для любого ${\displaystyle n}$ из верности ${\displaystyle P(n)}$ следует верность и ${\displaystyle P(S(n))}$ (индукционное предположение), то ${\displaystyle P(n)}$ верно для любых натуральных ${\displaystyle n}$.

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

---