Алгебраическая кривая

---

Алгебраическая кривая, или плоская алгебраическая кривая, — это, в простейшем случае, множество нулей многочлена двух переменных. Степенью, или порядком, алгебраической кривой называется степень этого многочлена.

Например, единичная окружность, задающаяся уравнением${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$, является алгебраической кривой второй степени, поскольку совпадает с множеством нулей многочлена ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1}$.

Плоские алгебраические кривые с первой по восьмую степень соответственно называют прямыми, кониками, кубиками, квартиками, пентиками, секстиками, септиками и октиками. В алгебраической геометрии также рассматривают не только вещественные нули многочленов, но и комплексные. Более того, многочлены могут рассматриваться над произвольными полями.

Так, обобщенная плоская аффинная алгебраическая кривая над полем ${\displaystyle k}$ определяется как множество тех пар из ${\displaystyle K\times K}$, где ${\displaystyle K}$ — алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle k}$, которые являются корнями многочлена от двух переменных с коэффициентами в ${\displaystyle k}$. Такие пары называются точками этой кривой. Те точки кривой, каждая координата которых лежит в ${\displaystyle k}$, называются ${\displaystyle k}$-точками, а множество ${\displaystyle k}$-точек называется ${\displaystyle k}$-частью кривой.

Например, точка ${\displaystyle (2,{\sqrt {-3}})}$ принадлежит рассмотренной выше единичной окружности, однако не принадлежит её вещественной ${\displaystyle \mathbb {R} }$-части. Кроме того, многочлен ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1}$ задаёт алгебраическую кривую, вещественная часть которой пуста. Тем не менее, сама кривая не является пустой.

---