Алгоритм вычисления собственных значений — алгоритм, позволяющий определить собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Создание эффективных и устойчивых алгоритмов для этой задачи является одной из ключевых задач вычислительной математики.
Если задана n × n квадратная матрица A над вещественными или комплексными числами, то собственное значение λ и соответствующий ему корневой вектор v — это пара, удовлетворяющая равенству[1]:
где v ненулевой n × 1 вектор-столбец, E является n × n единичной матрицей, k — положительным целым, а λ и v могут быть комплексными, даже если A вещественна. Если k = 1, вектор просто называется собственным вектором. В этом случае Av = λv. Любое собственное значение λ матрицы A имеет простой[note 1] собственный вектор, соответствующий ему так, что если k — наименьшее целое, при котором (A - λE)k v = 0 для корневого вектора v, то (A - λE)k-1 v будет простым собственным вектором. Значение k всегда можно взять меньше либо равным n. В частности, (A - λE)n v = 0 для всех корневых векторов v, соответствующих λ.
Для любого собственного значения λ матрицы A ядро ker(A - λE) состоит из всех собственных векторов, соответствующих λ, (вместе с 0) и называется собственным подпространством числа λ, а векторное подпространство ker((A - λE)n) состоит из всех корневых векторов (дополненное нулевым вектором) и называется корневым подпространством. Геометрическая кратность значения λ является размерностью его собственного подпространства. Алгебраическая кратность значения λ является размерностью его корневого подпространства. Дальнейшие термины связаны с равенством: