Аналитическое продолжение
Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно.
Понятие введено Карлом Вейерштрассом в 1842 году, им же развита соответствующая техника построения таких расширений.
Не во всяком случае аналитическое продолжение существует, но оно всегда единственно: любые две аналитические функции, продолженные с одной и той же функции, всегда совпадают. Для голоморфных функций (частный случай аналитических) единственность может быть выведена из следующего факта: если функция f тождественно равна нулю, то любое её продолжение всюду равно нулю. Поскольку голоморфные функции образуют линейное пространство, этого достаточно для единственности голоморфного продолжения.
Для самых элементарных функций, таких как степенная функция и экспонента, аналитическое продолжение осуществляется практически напрямую. Это связано с тем, что аналитическое продолжение в таких случаях осуществляется со множества весьма специфического вида, которым является вещественная прямая — это множество не имеет комплексных внутренних точек.