Родился в 1872 году. Отец — московский врач, преподаватель Военно-фельдшерской школы Иван Николаевич, сын сельского священника Николая Яковлевича (который первоначально носил фамилию Островский, но на экзамене у архиерея за интерес к астрономии был «переименован» в Астрова); мать — Елизавета Павловна, дочь генерала П. Д. Кобелева. В семье также ещё родились:
Среднее образование получил во 2-й московской гимназии. Недолго учился в Горном институте в Петербурге и на медицинском факультете Московского университета. В конечном итоге высшее образование получил на механическом отделении Московского технического училища (вып. 1895); оставлен при кафедре профессором Д. С. Зерновым. В 1896 году был на стажировке за границей: посетил ряд машиностроительных заводов Германии, Швеции и Франции; слушал лекции в германских высших технических школах.
В 1897 году начал преподавать в ИМТУ проектирование паровых котлов и черчение; с ноября 1898 года — проектирование и построение машин.
Работал инженером на машиностроительных заводах в Рязани и Мытищах[источник не указан 3859 дней]. Был автором проекта гидравлической лаборатории ИМТУ, руководил её постройкой, начавшейся в 1899 году, в дальнейшем возглавлял эту лабораторию. Стал основателем научной школы гидравлики в ИМТУ. По воспоминаниям современников
Вскоре Александр Иванович становится одним из авторитетнейших русских гидравликов. Он издаёт курс лекций по водяным турбинам, «Гидравлику» — книгу, поражающую стройностью и точностью изложения.
В 1905—1906 годах — первый декан механического отделения, в создании которого сыграл значительную роль; во многом усилиями Астрова это отделение стало образцом для других русских технических учебных заведений.