Аффинное преобразование

---

Аффи́нное преобразование, иногда афинное преобразование^[1] (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся^[2].

Биекция евклидова пространства или плоскости в себя, отображающая параллельные прямые в параллельные прямые, называется аффинным преобразованием.

Аффинное преобразование ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ есть преобразование вида

где ${\displaystyle M}$ — обратимая матрица и ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$.

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование ${\displaystyle f(x)=M\cdot x+v}$ можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}}$

---