Бином Ньютона

---

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

где ${\displaystyle {\binom {n}{k}}\equiv C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ — биномиальные коэффициенты, ${\displaystyle n}$ — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд^[⇨].

Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени ${\displaystyle a^{k}b^{n-k}}$ нужно из ${\displaystyle k}$ скобок выбрать ${\displaystyle a}$, а из оставшихся ${\displaystyle n-k}$ выбрать ${\displaystyle b}$. Вариантов выбрать ${\displaystyle a}$ в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть ${\displaystyle n}$. Затем, соответственно, ${\displaystyle n-1}$, и так далее до ${\displaystyle n-k+1}$ на ${\displaystyle k}$-м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых ${\displaystyle k!}$. Нормируя, получаем в точности ${\displaystyle C_{n}^{k}}$. Ниже приводится доказательство по индукции.

---