Брахистохрона

---

Брахистохро́на (от греч. βράχιστος «кратчайший» + χρόνος «время») — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в июне 1696 года Иоганном Бернулли следующим образом:

Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, лежащих в одной вертикальной плоскости (${\displaystyle B}$ ниже ${\displaystyle A}$), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси ${\displaystyle OY}$, материальная точка из ${\displaystyle A}$ достигнет ${\displaystyle B}$ за кратчайшее время.

Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке ${\displaystyle A}$, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке ${\displaystyle A}$.

Примечательно, что время спуска до нижней точки не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

На статью Иоганна Бернулли откликнулись Исаак Ньютон, Якоб Бернулли, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Все они, как и сам Иоганн Бернулли, решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января 1697 года Исааком Ньютоном, лёг в основу важнейшей области естествознания — вариационного исчисления.

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдём такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально.

---