Вычислимая функция


Вычисли́мые фу́нкции[1] — множество функций то есть отображения множества натуральных чисел во множество натуральных чисел, в математических обозначениях это которые могут быть реализованы некоторым, алгоритмом, описание которого конечно, например, описанием переходов некоторой машиной Тьюринга.

Функции называют алгоритмически разрешимыми или алгоритмически неразрешимыми, в зависимости от того, возможен ли некоторый теоретический алгоритм, вычисляющий эту функцию за конечное время.

В упрощённом виде в качестве множества обычно рассматривается множество  — множество слов в двоичном алфавите . Это не снижает общности рассмотрения функций с точки зрения разрешимости, если результатом вычисления может быть не только некоторое слово, но и специальное значение — «неопределённость», соответствующее случаю, когда алгоритм вычисления аргумента функции на некотором множестве аргументов «зависает» — то есть никогда не выдает результат. Таким образом, можно дать следующее определение вычислимой функции :

где , а  — специальный элемент, означающий неопределённость.

Роль множества может играть множество натуральных чисел, к которому добавлен элемент , и тогда вычислимые функции — это некоторое подмножество натуральнозначных функций натурального аргумента.