Геометрия инцидентности — раздел классической геометрии, изучающий структуры инцидентности, например принадлежность точки прямой.
В геометрии объекты, такие как евклидова плоскость, являются сложными объектами, использующими концепции длин, углов, непрерывности, отношения «лежит между» и инцидентности.
Структура инцидентности — это то, что остаётся, если отбросить все понятия, кроме данных о том, какие из изучаемых объектов (например, точки) лежат в других объектах (например, окружностях или прямых). Даже при таких ограничениях некоторые теоремы можно доказать и получить интересные факты относительно такой структуры. Такие фундаментальные результаты остаются верными, если добавить другие концепции для получения более богатой геометрии. Иногда авторы размывают различие между процессом изучения и объектом изучения, так что не удивительно, что некоторые авторы используют для структур инциденций название геометрии инциденций[1].
Структуры инциденций возникают естественным образом и изучались в различных областях математики. Соответственно, существует отличающаяся терминология для описания таких объектов. В теории графов они называются гиперграфами, а в теории комбинаторных схем они называются блок-схемами. Кроме разницы в терминологии, в каждой области подход к изучению объекта отличается, и вопросы к объектам ставятся соответственно дисциплине. Если используется язык геометрии, как это делается в геометрии инциденций, говорят о фигурах. Возможно, однако, перевести результаты с терминологии одной дисциплины на язык другой, но часто это приводит к неуклюжим и запутанным утверждениям, не выглядящим естественным образом для дисциплины. В примерах, приведённых в статье, мы используем только примеры, имеющие геометрическое содержание.
Специальный случай, вызывающий большой интерес, имеет дело с конечным набором точек на евклидовой плоскости и в этом случае речь идёт о числе и типах прямых, которые эти точки определяют. Некоторые результаты этого случая можно распространить на более общие случаи, поскольку здесь рассматриваются только свойства инцидентности.
Структура инцидентности (P, L, I) состоит из множества P, элементы которого называются точками, множества L , элементы которого называются прямыми, и отношения инцидентности I между ними, то есть подмножества P × L, элементы которого называются флагами [2]. Если (A, l) — флаг, мы говорим, что A инцидентна l, или, что l инцидентна A (отношение симметрично), и пишем A I l. Интуитивно ясно, что точка и прямая находятся в таком отношении тогда и только тогда, когда точка лежит на прямой. Если дана точка B и прямая m, которые не образуют флаг, то точка не лежит на прямой и пара (B, m) называется антифлагом.