Геометрия (Декарт)


«Геометрия» (фр. La Géométrie) — труд Рене Декарта, опубликованный в Лейдене (Голландия) в 1637 году в качестве третьего приложения к философскому трактату Декарта «Рассуждение о методе». Число страниц: 106. Имя автора в первом издании не было указано. Это единственное сочинение Декарта, полностью посвящённое математике; оно рассматривалось автором как образец применения его общих методов. После 1637 года «Геометрия» издавалась отдельно от «Рассуждения о методе»[1].

«Геометрия» Декарта стала поворотным пунктом в развитии новой математики, она была настольной книгой крупнейших математиков XVII века. Главной её ценностью было то, что книга содержала изложение нового раздела математики — аналитической геометрии, которая позволяла с помощью системы координат перевести геометрические задачи на алгебраический язык и тем самым существенно упрощала их исследование и решение. Кроме того, Декарт использовал в «Геометрии» удобную математическую символику, которая с этого момента стала общепринятой в науке. Наконец, «Геометрия» начала процесс переключения внимания математиков с изучения числовых величин на изучение зависимостей между ними — в современной терминологии, функций[2].

Революционные преобразования в математике, проведённые в «Геометрии», позволили Декарту решить ряд задач, недоступных старым методам. Декартовский подход послужил основой для разработки к концу XVII века Ньютоном и Лейбницем математического анализа.

В некотором смысле можно сказать, что Декарт поменял приоритеты алгебры и геометрии, исправив стратегическую ошибку древнегреческих математиков. В V веке до н. э. разразился первый кризис оснований математики[3]пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение () нельзя выразить ни натуральным числом, ни дробью. Однако других числовых объектов, кроме натуральных чисел, античные математики не признавали, даже дробь рассматривалась ими не как число, а как соотношение (пропорция). Найти выход сумел в IV веке до н. э. Евдокс Книдский — он ввёл, наряду с числами, понятие геометрических величин (длин, площадей, объёмов). Для однородных величин были определены арифметические операции, аналогичные числовым. Теория Евдокса была изложена Евклидом в пятой книге его «Начал», и она использовалась в Европе до XVII века. Теоремы о числах Евклиду приходилось отдельно передоказывать для величин, да и арифметика величин была существенно беднее, чем числовая — хотя бы потому, что касалась только однородных величин[4][5].


Рисунок из «Геометрии»: нахождение корней уравнения как точек пересечения параболы и окружности
Декартова система координат в современном виде
Титульный лист первого латинского перевода «Геометрии» (Схотен, 1649)