Градиент

---

Градие́нт (от лат. gradiens — «шагающий, растущий»)  — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины ${\displaystyle \varphi }$ (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя скалярное поле). Этот вектор ортогонален изоповерхности ${\displaystyle \varphi =}$ const.

Градиент поля ${\displaystyle \varphi }$ обозначается: ${\displaystyle \mathrm {grad} \ \varphi }$. По величине (модулю) градиент равен скорости роста величины ${\displaystyle \varphi }$ в направлении вектора^[1][2]. Например, если взять в качестве ${\displaystyle \varphi }$ высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», а своей величиной характеризовать крутизну склона.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности.

Термин впервые появился в метеорологии для исследования изменений температуры и давления атмосферы, а в математику был введён Максвеллом в 1873 году; обозначение ${\displaystyle \mathrm {grad} }$ тоже предложил Максвелл. Наряду со стандартным обозначением ${\displaystyle (\mathrm {grad} \,\varphi )}$ часто используется компактная запись с использованием оператора набла: ${\displaystyle \nabla \varphi .}$

Пусть температура в комнате задана с помощью скалярного поля ${\displaystyle T}$, не изменяющегося с течением времени, таким образом, что в каждой точке с координатами ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ температура равняется ${\displaystyle T(x,y,z)}$. В каждой точке комнаты градиент функции ${\displaystyle T}$ будет показывать направление, перпендикулярное изотермической поверхности, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в данном направлении.

---