Действие группы


Де́йствие гру́ппы на некотором множестве — это гомоморфное сопоставление каждому элементу группы некоторого преобразования этого множества[1].

Гру́ппа преобразова́ний некоторого множества — это некоторые преобразования этого множества, образующие группу. Термин «группа преобразований» близок термину «действие группы», но язык преобразований менее гибок[2].

В случае, когда множество наделено некоторой дополнительной структурой, предполагается, что преобразования сохраняют эту структуру. Действия групп позволяют изучать симметрии математических объектов с помощью аппарата теории групп.

Если группа действует на некотором объекте или структуре, она обычно действует и на связанных с ними объектах. Так, группа движений евклидова пространства действует как на этом пространстве, так и на фигурах, изображенных в нём. Например, она действует на множестве всех треугольников. Кроме того, группа симметрий некоторого многогранника действует на множествах его вершин, рёбер и граней.

В случае действий на топологических пространствах все отображения предполагаются гомеоморфизмами. Такие действия часто называются непрерывными.

Действия групп на векторных пространствах называются их линейными представлениями. В случае конечномерных векторных пространств они позволяют отождествить многие группы с подгруппами полной линейной группы , то есть группы обратимых матриц размера над некоторым полем .