Дивергенция

---

Диверге́нция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учётом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

Оператор дивергенции, применённый к полю ${\displaystyle \ \mathbf {F} }$, обозначают как

где ${\displaystyle \Phi _{\mathbf {F} }}$ — поток векторного поля ${\displaystyle F}$ через сферическую поверхность площадью ${\displaystyle S}$, ограничивающую объём ${\displaystyle V}$. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью ${\displaystyle S}$ и объёмом ${\displaystyle V}$ допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объёма её внутренности). В обоих случаях подразумевается, что

Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат).

Определение легко и прямо обобщается на любую размерность ${\displaystyle n}$ пространства: при этом под объёмом понимается ${\displaystyle n}$-мерный объём, а под площадью поверхности (${\displaystyle n-1}$)-мерная площадь (гипер)поверхности соответствующей размерности.

---