Доказательство от противного

---

Доказательство «от противного» (лат. contradictio in contrarium), или апагогическое косвенное доказательство^[1], — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса^[2]. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.

Этот способ очень важен для математики, где существует много суждений, которые не могут быть доказаны по-другому^[3].

Доказательство утверждения ${\displaystyle A}$ проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение ${\displaystyle A}$ неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение ${\displaystyle B}$, которое заведомо неверно.

Из определения импликации следует, что, если ${\displaystyle B}$ ложно, то формула ${\displaystyle \neg A\Rightarrow B}$ истинна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \neg A}$ ложно, следовательно утверждение ${\displaystyle A}$ истинно.

Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение ${\displaystyle \neg \neg A}$, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению ${\displaystyle A}$.

В интуиционистской логике доказательство от противного не принимается, так же как не действует закон исключённого третьего^[1].

---