Евклидово пространство

---

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово пространство) в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением; либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$; также часто используется обозначение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой.

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ),}$ обладающая следующими тремя свойствами:

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством^[1].

---