Родился в дворянской семье. Окончил Вологодскую гимназию с серебряной медалью и поступил в 1875 году в Медико-хирургическую академию. После окончания академии в 1880 году был оставлен при ней для подготовки к профессорскому званию. Избрав своей специальностью внутренние болезни, Засецкий остался для их изучения при клинике профессора В. А. Манассеина, где был сначала ординатором, а потом ассистентом клиники. Через три года после окончания академии Н. А. Засецкий защитил докторскую диссертацию и был признан 14 мая 1883 года доктором медицины, а через некоторое время его избрали приват-доцентом по диагностике и клинике внутренних болезней при Медико-хирургической академии.
В 1884—1886 годах он работал в клиниках за границей, преимущественно, в Вене. По возвращении в Россию Засецкий был назначен экстраординарным профессором на кафедру частной патологии и терапии Казанского университета. С 1893 года — ординарный профессор на кафедре частной патологии.
В 1911 году в связи с 25-летием преподавательской деятельности в университете Н. А. Засецкий был удостоен звания заслуженного профессора.