Затухающие колебания

---

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида ${\displaystyle u(t)=A\cos(\omega t+q)}$ в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний ${\displaystyle \scriptstyle u'_{t}}$ или её квадрата.

Пусть имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

где ${\displaystyle F_{c}=-cv}$ — сила сопротивления, а ${\displaystyle F_{y}=-kx}$ — сила упругости. Получается

где ${\displaystyle k}$ — коэффициент упругости в законе Гука, ${\displaystyle c}$ — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Величину ${\displaystyle \omega _{0}}$ называют собственной частотой системы, ${\displaystyle \zeta }$ — коэффициентом затухания. С такими обозначениями дифференциальное уравнение принимает вид

---