Родился в семье Юрия Петровича Зибров, капитана второго ранга, и Татьяны Ивановой, бухгалтера. Имеет сестру Елену. В детстве Андрея семья переехали на остров Кильдин в Баренцевом море по месту службы отца. Спустя 10 лет вернулись в Ленинград.
В детстве Зибров посещал кружок «Умелые руки», затем театральный кружок — театр юношеского творчества (ТЮТ).
Сразу после окончания школы поступить в Академию театрального искусства (ЛГИТМиК) не смог, но поступил удалось через год, в 1991 году. В 1996 году окончил актёрский факультет (курс Вениамина Фильштинского).
С января 1997 года работал в труппе Санкт-Петербургского академического театра имени Ленсовета. Является актёром Театра эстрады им. А. И. Райкина.
В ночь с пятницы 23 апреля на субботу 24 апреля 2010 года у дома № 11 по Каменноостровскому проспекту Зибров получил тяжёлое ранение, когда заступался за свою жену, к которой после их выхода из бара на Каменноостровском проспекте стали приставать хулиганы. Когда Зибров попытался защитить жену, один из них выстрелил актёру в голову из травматического пистолета и попал в глаз, который после нескольких операций пришлось заменить на глазной протез[1][2]. Нападавшие были арестованы, один из них, Антон Ивченко, был приговорен к трехлетнему лишению свободы и выплате возмещения в 600 тысяч рублей.
Первая супруга — актриса Вероника Дмитриева, знакомство Зибров с ней произошло в театральном институте. Еще до заключения брака Вероника забеременела, но беременность оборвалась на 6 месяце: у ребёнка был сепсис. После двух лет брака подали на развод.