Иерархия алефов

---

Иера́рхия а́лефов в теории множеств и в математике вообще представляет собой упорядоченную систему обобщённых («кардинальных») чисел, используемых для представления мощности (количества элементов) бесконечных вполне упорядоченных множеств^[1]. Мощность конечного множества есть количество его элементов, поэтому иерархия кардинальных чисел включает обычные натуральные числа, упорядоченные традиционным способом. Далее в иерархии идут бесконечные вполне упорядоченные множества, мощность (кардинальное число) которых обозначается с помощью буквы алеф (ℵ) еврейского алфавита с индексами, причём индекс сам может быть бесконечным порядковым числом. Множествам большей мощности соответствует большее значение индекса.

Первым из алефов выступает мощность множества натуральных чисел («счётная»), которая обозначается символом ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (читается: «алеф-ноль»), далее следует ${\displaystyle \aleph _{1}}$ (алеф-один) и так далее.

Иерархия алефов была описана немецким математиком Георгом Кантором в статье «К обоснованию учения о трансфинитных множествах» (в двух частях, 1895—1897 годы)^[2].

Обозначения алефов не следует путать с символом бесконечности Валлиса (${\displaystyle \infty }$), который часто встречается в математическом анализе и других разделах математики. Символ Валлиса обозначает либо неограниченное возрастание (${\displaystyle -\infty }$ означает неограниченное убывание) функции, либо особую («бесконечно удалённую») точку на расширенной числовой прямой или комплексной плоскости, в то время как алеф есть мера мощности множеств.

Как сказано выше, символ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ обозначает счётную мощность натурального ряда. Пусть ${\displaystyle \alpha }$ — некоторое порядковое число; рассмотрим соответствующий ему ординал ${\displaystyle \omega _{\alpha }.}$ Тогда символ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ обозначает^[1] мощность множества всех порядковых чисел, меньших ${\displaystyle \omega _{\alpha }.}$

---