Корень (математика)

---

Корень ${\displaystyle n}$-й степени из числа ${\displaystyle a}$ определяется^[1] как такое число ${\displaystyle b}$, что ${\displaystyle b^{n}=a.}$ Здесь ${\displaystyle n}$ — натуральное число, называемое показателем корня (или степенью корня); как правило, оно больше или равно 2, потому что случай ${\displaystyle n=1}$ не представляет интереса.

Обозначение: ${\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}},}$ символ (знак корня) в правой части называется радикалом. Число ${\displaystyle a}$ (подкоренное выражение) чаще всего вещественное или комплексное, но существуют и обобщения для других математических объектов, например, вычетов, матриц и операторов, см. ниже #Вариации и обобщения.

Как видно из первого примера, у вещественного корня чётной степени могут быть два значения (положительное и отрицательное), и это затрудняет работу с такими корнями, не позволяя использовать их в арифметических вычислениях. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня^[⇨] (из неотрицательного вещественного числа), значение которого всегда неотрицательно, в первом примере это число ${\displaystyle 3.}$ Кроме того, принято соглашение, по которому знак корня чётной степени из вещественного числа всегда обозначает арифметический корень^[2][3]: ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{9}}=3.}$ Если требуется учесть двузначность корня, перед радикалом ставится знак плюс-минус^[2]; например, так делается в формуле решения квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$:

Вещественные корни чётной степени из отрицательных чисел не существуют. Из комплексного числа всегда можно извлечь корень любой степени, но результат определён неоднозначно — комплексный корень ${\displaystyle n}$-й степени из ненулевого числа имеет ${\displaystyle n}$ различных значений (см. #Корни из комплексных чисел).

---