Изоморфизм

---

Изоморфи́зм (от др.-греч. ἴσος — равный, одинаковый, подобный и μορφή — форма) — соотношение между математическими объектами, выражающее общность их строения; используется в разных разделах математики и в каждом из них определяется в зависимости от структурных свойств изучаемых объектов. Обычно изоморфизм определяется для множеств, наделённых некоторой структурой, например, для групп, колец, линейных пространств; в этом случае он определяется как обратимое отображение (биекция) между двумя множествами со структурой, сохраняющее эту структуру, то есть показывающее, что объекты «одинаково устроены» в смысле этой структуры. Если между объектами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких структур.

Например, два графа называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм: то есть вершинам одного графа можно сопоставить вершины другого графа, так чтобы соединённым вершинам первого графа соответствовали соединённые вершины второго графа и наоборот. Иными словами, два графа изоморфны, если они «одинаковы» (с точностью до переименования вершин).

Другим классическим примером изоморфных систем могут служить множество ${\displaystyle \mathbb {R} }$ всех вещественных чисел с определённой на нём операцией сложения и множество ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения. Отображение ${\displaystyle x\mapsto \exp(x)}$ в этом случае является изоморфизмом.

Понятие изоморфизма возникло в математике применительно к группам, впоследствии перенесено на другие классы объектов.

Например, для групп ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle H}$биекция ${\displaystyle f\colon G\to H}$ называется изоморфизмом, если для любых ${\displaystyle a,\;b\in G}$ выполнено ${\displaystyle f(a)f(b)=f(ab)}$. Если группы являются топологическими, то добавляется условие гомеоморфности соответствующих топологических пространств^[1].

---