Интегральное уравнение

---

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

где ${\displaystyle \varphi (x)}$ — искомая функция, ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle K(x,\;s)}$ — известные функции, ${\displaystyle \lambda }$ — параметр. Функция ${\displaystyle K(x,\;s)}$ называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить ещё на несколько видов.

Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: ${\displaystyle a\leqslant x,\;s\leqslant b}$, а ядро и свободный член должны быть непрерывными: ${\displaystyle K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b])}$, либо удовлетворять условиям:

Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$ на ${\displaystyle [a,\;b]}$, то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.

Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:

при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.

---