Иррациональное число


Иррациона́льное число́ — вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби , где  — целые числа, [1]. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Другими словами, множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел (точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины), знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа [2].

Иррациональными являются, среди прочих, отношение длины окружности к диаметру круга (число π), основание натурального логарифма e, золотое сечение φ, квадратный корень из двух[3][4][5]. Все квадратные корни натуральных чисел, кроме полных квадратов, иррациональны.

Иррациональные числа также могут рассматриваться через бесконечные непрерывные дроби. Следствием доказательства Кантора является то, что действительные числа не счётны, а рациональные — счётны, отсюда следует, что почти все действительные числа иррациональны[6].

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество алгебраических чисел является счётным множеством. Так как множество вещественных чисел несчётно, то множество иррациональных чисел также несчётно.