Алексей Николаевич Казанцев родился 11 декабря 1945 года в Москве в семье профессора юридического факультета МГУ Николая Дмитриевича Казанцева.
После окончания школы учился на филологическом факультете МГУ. В 1967 году А. Н. Казанцев окончил Драматическую студию при Центральном детском театре (ЦДТ). Играл на сцене ЦДТ. Одновременно начал заниматься режиссурой. Им были поставлены учебные спектакли «Смерть Тарелкина» А. В. Сухово-Кобылина и «Преступление и наказание» по Ф. М. Достоевскому.
А. Н. Казанцев окончил Ленинградский государственный институт театра, музыки и кинематографии (ЛГИТМиК), мастерская Г. А. Товстоногова, а в 1975 году, — режиссёрское отделение Школы-студии при МХАТ, курс О. Н. Ефремова[2][3][4].
Заметными режиссёрскими работами А. Н. Казанцева стали спектакли «Земляничная поляна» по И. Бергману, «Гнездо глухаря» В. С. Розова, поставленные в Рижском театре русской драмы (1978 и 1979 год)[5], а также спектакль о Льве Толстом «Если буду жив» (пьеса С. Б. Коковкина) в Московском театре им. Моссовета[6].
Первой известной пьесой А. Н. Казанцева принято считать «Антон и другие», написанную в 1975 году и поставленную в 1981 году режиссёром А. В. Бородиным в ЦДТ[2][3][7].
Ошеломительный успех пьесы «Старый дом» (1976 год), поставленной режиссёром Виталием Ланским в Новом драматическом театре в Москве (в 1978 году), принес Алексею Николаевичу широчайшую известность как современному русскому драматургу. А. Н. Казанцев становится участником драматургической студии А. Н. Арбузова. Пьеса «Старый дом» была поставлена более чем в 70 театрах страны, и не сходит со сцены до настоящего времени[2][7].