Квадратичный закон взаимности

---

Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю. Согласно этому закону, если ${\displaystyle p,q}$ — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид ${\displaystyle 4k+1,}$ то два сравнения

либо оба имеют решения для ${\displaystyle x,}$ либо оба не имеют. Поэтому в названии закона используется слово «взаимность». Если же ${\displaystyle p,q}$ оба имеют вид ${\displaystyle 4k+3,}$ то решение имеет одно и только одно из указанных сравнений^[1].

Если для заданных целых чисел ${\displaystyle p,q}$ сравнение ${\displaystyle x^{2}\equiv p{\pmod {q}}}$ имеет решения, то ${\displaystyle p}$ называется квадратичным вычетом^[2] по модулю ${\displaystyle q,}$ а если решений нет, то — квадратичным невычетом по модулю ${\displaystyle q.}$ С использованием этой терминологии можно сформулировать квадратичный закон взаимности следующим образом:

Если ${\displaystyle p,q}$ — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид ${\displaystyle 4k+1,}$ то либо оба ${\displaystyle p,q}$ являются квадратичными вычетами по модулю друг друга, либо оба — невычеты. Если же ${\displaystyle p,q}$ оба имеют вид ${\displaystyle 4k+3,}$ то квадратичным вычетом является одно и только одно из этих чисел — либо ${\displaystyle p}$ по модулю ${\displaystyle q,}$ либо ${\displaystyle q}$ по модулю ${\displaystyle p.}$

---