Квантовая яма с бесконечными стенками

Ква́нтовая я́ма с бесконе́чными сте́нками (Бесконечная прямоугольная потенциальная яма) — область пространства размером порядка длины волны де Бройля рассматриваемой частицы (хотя бы в одном направлении), вне которой потенциальная энергия $U$ бесконечна. Иногда данную область называют «ящиком» (англ. particle in a box).

Для демонстрации основных черт поведения частицы в яме удобны такие профили потенциальной энергии, при которых движение происходит независимо по трём декартовым координатам и переменные в уравнении Шрёдингера разделяются. Часто анализируется прямоугольная область по всем измерениям (прямоугольный «ящик»), а потенциальная энергия в нём полагается нулевой.

Могут быть рассмотрены системы с ограничением движения частицы по одной координате (собственно яма), по двум (квантовый провод) или по трём (квантовая точка). При ограничении по одной координате «ящик» представляет собой плоскопараллельный слой, а обращение $U$ в бесконечность математически отражают в граничных условиях, считая, что волновые функции равны нулю на концах соответствующего отрезка. При ограничении по нескольким координатам на границах ставятся граничные условия Дирихле.

Стационарное уравнение Шрёдингера на интервале $\left(-{\frac {a}{2}},{\frac {a}{2}}\right)$

С учётом обозначения $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$ , оно примет вид:

Тот факт, что решения разбиваются на чётные и нечётные связан с тем, что потенциал сам по себе является чётной функцией. С учётом нормировки